Definition df-sup 6961

Description: Define the supremum of class A. It is meaningful when R is a relation that strictly orders B and when the supremum exists. (Contributed by NM, 22-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
df-sup	|- sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }

Distinct variable groups:   x, y, z, R   x, A, y, z   x, B, y, z

Detailed syntax breakdown of Definition df-sup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cA	. . 3 class A
2		cB	. . 3 class B
3		cR	. . 3 class R
4	1, 2, 3	csup 6959	. 2 class sup ( A , B , R )
5		vx	. . . . . . . . 9 setvar x
6	5	cv 1347	. . . . . . . 8 class x
7		vy	. . . . . . . . 9 setvar y
8	7	cv 1347	. . . . . . . 8 class y
9	6, 8, 3	wbr 3989	. . . . . . 7 wff x R y
10	9	wn 3	. . . . . 6 wff -. x R y
11	10, 7, 1	wral 2448	. . . . 5 wff A. y e. A -. x R y
12	8, 6, 3	wbr 3989	. . . . . . 7 wff y R x
13		vz	. . . . . . . . . 10 setvar z
14	13	cv 1347	. . . . . . . . 9 class z
15	8, 14, 3	wbr 3989	. . . . . . . 8 wff y R z
16	15, 13, 1	wrex 2449	. . . . . . 7 wff E. z e. A y R z
17	12, 16	wi 4	. . . . . 6 wff ( y R x -> E. z e. A y R z )
18	17, 7, 2	wral 2448	. . . . 5 wff A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z )
19	11, 18	wa 103	. . . 4 wff ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) )
20	19, 5, 2	crab 2452	. . 3 class { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
21	20	cuni 3796	. 2 class U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
22	4, 21	wceq 1348	1 wff sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }

This definition is referenced by:  supeq1  6963  supeq2  6966  supeq3  6967  supeq123d  6968  nfsup  6969  supval2ti  6972  sup00  6980  supex2g  7010  dfinfre  8872