Theorem dfinfre 9195

Description: The infimum of a set of reals A. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfinfre	|- ( A C_ RR -> inf ( A , RR , < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem dfinfre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7244	. 2 |- inf ( A , RR , < ) = sup ( A , RR , `' < )
2		df-sup 7243	. . 3 |- sup ( A , RR , `' < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) }
3		ssel2 3223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
4		vex 2806	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
5		vex 2806	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4919	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x `' < y <-> y < x )
7	6	notbii 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x `' < y <-> -. y < x )
8		lenlt 8314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x <_ y <-> -. y < x ) )
9	7, 8	bitr4id 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
10	3, 9	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ ( A C_ RR /\ y e. A ) ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
11	10	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
12	11	an32s 570	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
13	12	ralbidva 2529	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A -. x `' < y <-> A. y e. A x <_ y ) )
14	5, 4	brcnv 4919	. . . . . . . . 9 |- ( y `' < x <-> x < y )
15		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
16	5, 15	brcnv 4919	. . . . . . . . . 10 |- ( y `' < z <-> z < y )
17	16	rexbii 2540	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. A y `' < z <-> E. z e. A z < y )
18	14, 17	imbi12i 239	. . . . . . . 8 |- ( ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
19	18	ralbii 2539	. . . . . . 7 |- ( A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
21	13, 20	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) <-> ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
22	21	rabbidva 2791	. . . 4 |- ( A C_ RR -> { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) } = { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
23	22	unieqd 3909	. . 3 |- ( A C_ RR -> U. { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) } = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
24	2, 23	eqtrid 2276	. 2 |- ( A C_ RR -> sup ( A , RR , `' < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
25	1, 24	eqtrid 2276	1 |- ( A C_ RR -> inf ( A , RR , < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   C_ wss 3201   U.cuni 3898   class class class wbr 4093   `'ccnv 4730   supcsup 7241  infcinf 7242   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-sup 7243  df-inf 7244  df-xr 8277  df-le 8279

This theorem is referenced by: (None)