Theorem dfinfre 8624

Description: The infimum of a set of reals A. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfinfre	|- ( A C_ RR -> inf ( A , RR , < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem dfinfre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6824	. 2 |- inf ( A , RR , < ) = sup ( A , RR , `' < )
2		df-sup 6823	. . 3 |- sup ( A , RR , `' < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) }
3		ssel2 3058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
4		lenlt 7763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x <_ y <-> -. y < x ) )
5		vex 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
6		vex 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
7	5, 6	brcnv 4682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x `' < y <-> y < x )
8	7	notbii 640	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x `' < y <-> -. y < x )
9	4, 8	syl6rbbr 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
10	3, 9	sylan2 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ ( A C_ RR /\ y e. A ) ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
11	10	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
12	11	an32s 540	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
13	12	ralbidva 2407	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A -. x `' < y <-> A. y e. A x <_ y ) )
14	6, 5	brcnv 4682	. . . . . . . . 9 |- ( y `' < x <-> x < y )
15		vex 2660	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
16	6, 15	brcnv 4682	. . . . . . . . . 10 |- ( y `' < z <-> z < y )
17	16	rexbii 2416	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. A y `' < z <-> E. z e. A z < y )
18	14, 17	imbi12i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
19	18	ralbii 2415	. . . . . . 7 |- ( A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
21	13, 20	anbi12d 462	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) <-> ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
22	21	rabbidva 2645	. . . 4 |- ( A C_ RR -> { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) } = { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
23	22	unieqd 3713	. . 3 |- ( A C_ RR -> U. { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) } = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
24	2, 23	syl5eq 2159	. 2 |- ( A C_ RR -> sup ( A , RR , `' < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
25	1, 24	syl5eq 2159	1 |- ( A C_ RR -> inf ( A , RR , < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   {crab 2394   C_ wss 3037   U.cuni 3702   class class class wbr 3895   `'ccnv 4498   supcsup 6821  infcinf 6822   RRcr 7546   < clt 7724   <_ cle 7725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-cnv 4507  df-sup 6823  df-inf 6824  df-xr 7728  df-le 7730

This theorem is referenced by: (None)