Theorem dfinfre 8851

Description: The infimum of a set of reals A. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfinfre	|- ( A C_ RR -> inf ( A , RR , < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem dfinfre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6950	. 2 |- inf ( A , RR , < ) = sup ( A , RR , `' < )
2		df-sup 6949	. . 3 |- sup ( A , RR , `' < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) }
3		ssel2 3137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
4		vex 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
5		vex 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x `' < y <-> y < x )
7	6	notbii 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x `' < y <-> -. y < x )
8		lenlt 7974	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x <_ y <-> -. y < x ) )
9	7, 8	bitr4id 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
10	3, 9	sylan2 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ ( A C_ RR /\ y e. A ) ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
11	10	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
12	11	an32s 558	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
13	12	ralbidva 2462	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A -. x `' < y <-> A. y e. A x <_ y ) )
14	5, 4	brcnv 4787	. . . . . . . . 9 |- ( y `' < x <-> x < y )
15		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
16	5, 15	brcnv 4787	. . . . . . . . . 10 |- ( y `' < z <-> z < y )
17	16	rexbii 2473	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. A y `' < z <-> E. z e. A z < y )
18	14, 17	imbi12i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
19	18	ralbii 2472	. . . . . . 7 |- ( A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
21	13, 20	anbi12d 465	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) <-> ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
22	21	rabbidva 2714	. . . 4 |- ( A C_ RR -> { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) } = { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
23	22	unieqd 3800	. . 3 |- ( A C_ RR -> U. { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) } = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
24	2, 23	syl5eq 2211	. 2 |- ( A C_ RR -> sup ( A , RR , `' < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
25	1, 24	syl5eq 2211	1 |- ( A C_ RR -> inf ( A , RR , < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   C_ wss 3116   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   `'ccnv 4603   supcsup 6947  infcinf 6948   RRcr 7752   < clt 7933   <_ cle 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-sup 6949  df-inf 6950  df-xr 7937  df-le 7939

This theorem is referenced by: (None)