ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfinfre Unicode version

Theorem dfinfre 8859
Description: The infimum of a set of reals  A. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfinfre  |-  ( A 
C_  RR  -> inf ( A ,  RR ,  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
Distinct variable group:    x, A, y, z

Proof of Theorem dfinfre
StepHypRef Expression
1 df-inf 6958 . 2  |- inf ( A ,  RR ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )
2 df-sup 6957 . . 3  |-  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }
3 ssel2 3142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
4 vex 2733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
5 vex 2733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 4792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
76notbii 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
8 lenlt 7982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
97, 8bitr4id 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
103, 9sylan2 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1110ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1211an32s 563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1312ralbidva 2466 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
145, 4brcnv 4792 . . . . . . . . 9  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
15 vex 2733 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
165, 15brcnv 4792 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
1716rexbii 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  A  y `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  y )
1814, 17imbi12i 238 . . . . . . . 8  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1918ralbii 2476 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2019a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2113, 20anbi12d 470 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
2221rabbidva 2718 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }  =  {
x  e.  RR  | 
( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
2322unieqd 3805 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  U. {
x  e.  RR  | 
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
242, 23eqtrid 2215 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
251, 24eqtrid 2215 1  |-  ( A 
C_  RR  -> inf ( A ,  RR ,  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452    C_ wss 3121   U.cuni 3794   class class class wbr 3987   `'ccnv 4608   supcsup 6955  infcinf 6956   RRcr 7760    < clt 7941    <_ cle 7942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-sup 6957  df-inf 6958  df-xr 7945  df-le 7947
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator