ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfinfre Unicode version

Theorem dfinfre 8931
Description: The infimum of a set of reals  A. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfinfre  |-  ( A 
C_  RR  -> inf ( A ,  RR ,  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
Distinct variable group:    x, A, y, z

Proof of Theorem dfinfre
StepHypRef Expression
1 df-inf 7002 . 2  |- inf ( A ,  RR ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )
2 df-sup 7001 . . 3  |-  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }
3 ssel2 3165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
4 vex 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
5 vex 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 4825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
76notbii 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
8 lenlt 8051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
97, 8bitr4id 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
103, 9sylan2 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1110ancoms 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1211an32s 568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1312ralbidva 2486 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
145, 4brcnv 4825 . . . . . . . . 9  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
15 vex 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
165, 15brcnv 4825 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
1716rexbii 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  A  y `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  y )
1814, 17imbi12i 239 . . . . . . . 8  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1918ralbii 2496 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2019a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2113, 20anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
2221rabbidva 2740 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }  =  {
x  e.  RR  | 
( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
2322unieqd 3835 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  U. {
x  e.  RR  | 
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
242, 23eqtrid 2234 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
251, 24eqtrid 2234 1  |-  ( A 
C_  RR  -> inf ( A ,  RR ,  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472    C_ wss 3144   U.cuni 3824   class class class wbr 4018   `'ccnv 4640   supcsup 6999  infcinf 7000   RRcr 7828    < clt 8010    <_ cle 8011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-cnv 4649  df-sup 7001  df-inf 7002  df-xr 8014  df-le 8016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator