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Theorem supeq3 6988
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
supeq3  |-  ( R  =  S  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  B ,  S ) )

Proof of Theorem supeq3
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq 4005 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (
x R y  <->  x S
y ) )
21notbid 667 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x S y ) )
32ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  <->  A. y  e.  A  -.  x S y ) )
4 breq 4005 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (
y R x  <->  y S x ) )
5 breq 4005 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  S  ->  (
y R z  <->  y S
z ) )
65rexbidv 2478 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  ( E. z  e.  A  y R z  <->  E. z  e.  A  y S
z ) )
74, 6imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S
z ) ) )
87ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  A. y  e.  B  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S
z ) ) )
93, 8anbi12d 473 . . . 4  |-  ( R  =  S  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  (
y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) ) )
109rabbidv 2726 . . 3  |-  ( R  =  S  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) } )
1110unieqd 3820 . 2  |-  ( R  =  S  ->  U. {
x  e.  B  | 
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) } )
12 df-sup 6982 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  R )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
13 df-sup 6982 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  S )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  (
y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) }
1411, 12, 133eqtr4g 2235 1  |-  ( R  =  S  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  B ,  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   U.cuni 3809   class class class wbr 4003   supcsup 6980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-uni 3810  df-br 4004  df-sup 6982
This theorem is referenced by:  infeq3  7013
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