Theorem supeq3 7320

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
supeq3	|- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Proof of Theorem supeq3

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq 4127	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( x R y <-> x S y ) )
2	1	notbid 677	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( -. x R y <-> -. x S y ) )
3	2	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. A -. x R y <-> A. y e. A -. x S y ) )
4		breq 4127	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( y R x <-> y S x ) )
5		breq 4127	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( y R z <-> y S z ) )
6	5	rexbidv 2551	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( E. z e. A y R z <-> E. z e. A y S z ) )
7	4, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
8	7	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
9	3, 8	anbi12d 477	. . . 4 |- ( R = S -> ( ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) ) )
10	9	rabbidv 2810	. . 3 |- ( R = S -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
11	10	unieqd 3941	. 2 |- ( R = S -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
12		df-sup 7314	. 2 |- sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
13		df-sup 7314	. 2 |- sup ( A , B , S ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2296	1 |- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   U.cuni 3930   class class class wbr 4125   supcsup 7312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3931  df-br 4126  df-sup 7314

This theorem is referenced by:  infeq3  7345