Theorem supeq3 6988

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
supeq3	|- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Proof of Theorem supeq3

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq 4005	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( x R y <-> x S y ) )
2	1	notbid 667	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( -. x R y <-> -. x S y ) )
3	2	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. A -. x R y <-> A. y e. A -. x S y ) )
4		breq 4005	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( y R x <-> y S x ) )
5		breq 4005	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( y R z <-> y S z ) )
6	5	rexbidv 2478	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( E. z e. A y R z <-> E. z e. A y S z ) )
7	4, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
8	7	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
9	3, 8	anbi12d 473	. . . 4 |- ( R = S -> ( ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) ) )
10	9	rabbidv 2726	. . 3 |- ( R = S -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
11	10	unieqd 3820	. 2 |- ( R = S -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
12		df-sup 6982	. 2 |- sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
13		df-sup 6982	. 2 |- sup ( A , B , S ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2235	1 |- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   U.cuni 3809   class class class wbr 4003   supcsup 6980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-uni 3810  df-br 4004  df-sup 6982

This theorem is referenced by:  infeq3  7013