Theorem supeq3 7249

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
supeq3	|- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Proof of Theorem supeq3

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq 4095	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( x R y <-> x S y ) )
2	1	notbid 673	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( -. x R y <-> -. x S y ) )
3	2	ralbidv 2533	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. A -. x R y <-> A. y e. A -. x S y ) )
4		breq 4095	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( y R x <-> y S x ) )
5		breq 4095	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( y R z <-> y S z ) )
6	5	rexbidv 2534	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( E. z e. A y R z <-> E. z e. A y S z ) )
7	4, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
8	7	ralbidv 2533	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
9	3, 8	anbi12d 473	. . . 4 |- ( R = S -> ( ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) ) )
10	9	rabbidv 2792	. . 3 |- ( R = S -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
11	10	unieqd 3909	. 2 |- ( R = S -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
12		df-sup 7243	. 2 |- sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
13		df-sup 7243	. 2 |- sup ( A , B , S ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2289	1 |- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   U.cuni 3898   class class class wbr 4093   supcsup 7241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-uni 3899  df-br 4094  df-sup 7243

This theorem is referenced by:  infeq3  7274