Theorem supeq3 6870

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
supeq3	|- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Proof of Theorem supeq3

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq 3926	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( x R y <-> x S y ) )
2	1	notbid 656	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( -. x R y <-> -. x S y ) )
3	2	ralbidv 2435	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. A -. x R y <-> A. y e. A -. x S y ) )
4		breq 3926	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( y R x <-> y S x ) )
5		breq 3926	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( y R z <-> y S z ) )
6	5	rexbidv 2436	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( E. z e. A y R z <-> E. z e. A y S z ) )
7	4, 6	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
8	7	ralbidv 2435	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
9	3, 8	anbi12d 464	. . . 4 |- ( R = S -> ( ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) ) )
10	9	rabbidv 2670	. . 3 |- ( R = S -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
11	10	unieqd 3742	. 2 |- ( R = S -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
12		df-sup 6864	. 2 |- sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
13		df-sup 6864	. 2 |- sup ( A , B , S ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2195	1 |- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418   U.cuni 3731   class class class wbr 3924   supcsup 6862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-uni 3732  df-br 3925  df-sup 6864

This theorem is referenced by:  infeq3  6895