Theorem supeq3 6955

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
supeq3	|- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Proof of Theorem supeq3

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq 3984	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( x R y <-> x S y ) )
2	1	notbid 657	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( -. x R y <-> -. x S y ) )
3	2	ralbidv 2466	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. A -. x R y <-> A. y e. A -. x S y ) )
4		breq 3984	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( y R x <-> y S x ) )
5		breq 3984	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( y R z <-> y S z ) )
6	5	rexbidv 2467	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( E. z e. A y R z <-> E. z e. A y S z ) )
7	4, 6	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
8	7	ralbidv 2466	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) )
9	3, 8	anbi12d 465	. . . 4 |- ( R = S -> ( ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) ) )
10	9	rabbidv 2715	. . 3 |- ( R = S -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
11	10	unieqd 3800	. 2 |- ( R = S -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) } )
12		df-sup 6949	. 2 |- sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
13		df-sup 6949	. 2 |- sup ( A , B , S ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x S y /\ A. y e. B ( y S x -> E. z e. A y S z ) ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2224	1 |- ( R = S -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , B , S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   supcsup 6947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-uni 3790  df-br 3983  df-sup 6949

This theorem is referenced by:  infeq3  6980