Theorem supeq123d 7093

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supeq123d.a	|- ( ph -> A = D )
supeq123d.b	|- ( ph -> B = E )
supeq123d.c	|- ( ph -> C = F )

Assertion

Ref	Expression
supeq123d	|- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Proof of Theorem supeq123d

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq123d.b	. . . 4 |- ( ph -> B = E )
2		supeq123d.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A = D )
3		supeq123d.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C = F )
4	3	breqd 4055	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x C y <-> x F y ) )
5	4	notbid 669	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x C y <-> -. x F y ) )
6	2, 5	raleqbidv 2718	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A -. x C y <-> A. y e. D -. x F y ) )
7	3	breqd 4055	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y C x <-> y F x ) )
8	3	breqd 4055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y C z <-> y F z ) )
9	2, 8	rexeqbidv 2719	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. A y C z <-> E. z e. D y F z ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
11	1, 10	raleqbidv 2718	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
12	6, 11	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) <-> ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) ) )
13	1, 12	rabeqbidv 2767	. . 3 |- ( ph -> { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
14	13	unieqd 3861	. 2 |- ( ph -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
15		df-sup 7086	. 2 |- sup ( A , B , C ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) }
16		df-sup 7086	. 2 |- sup ( D , E , F ) = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) }
17	14, 15, 16	3eqtr4g 2263	1 |- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   A.wral 2484   E.wrex 2485   {crab 2488   U.cuni 3850   class class class wbr 4044   supcsup 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-uni 3851  df-br 4045  df-sup 7086

This theorem is referenced by:  infeq123d  7118