Theorem supeq123d 6886

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supeq123d.a	|- ( ph -> A = D )
supeq123d.b	|- ( ph -> B = E )
supeq123d.c	|- ( ph -> C = F )

Assertion

Ref	Expression
supeq123d	|- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Proof of Theorem supeq123d

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq123d.b	. . . 4 |- ( ph -> B = E )
2		supeq123d.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A = D )
3		supeq123d.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C = F )
4	3	breqd 3948	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x C y <-> x F y ) )
5	4	notbid 657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x C y <-> -. x F y ) )
6	2, 5	raleqbidv 2641	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A -. x C y <-> A. y e. D -. x F y ) )
7	3	breqd 3948	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y C x <-> y F x ) )
8	3	breqd 3948	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y C z <-> y F z ) )
9	2, 8	rexeqbidv 2642	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. A y C z <-> E. z e. D y F z ) )
10	7, 9	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
11	1, 10	raleqbidv 2641	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
12	6, 11	anbi12d 465	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) <-> ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) ) )
13	1, 12	rabeqbidv 2684	. . 3 |- ( ph -> { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
14	13	unieqd 3755	. 2 |- ( ph -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
15		df-sup 6879	. 2 |- sup ( A , B , C ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) }
16		df-sup 6879	. 2 |- sup ( D , E , F ) = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) }
17	14, 15, 16	3eqtr4g 2198	1 |- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   U.cuni 3744   class class class wbr 3937   supcsup 6877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-uni 3745  df-br 3938  df-sup 6879

This theorem is referenced by:  infeq123d  6911