Theorem supeq123d 7092

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supeq123d.a	|- ( ph -> A = D )
supeq123d.b	|- ( ph -> B = E )
supeq123d.c	|- ( ph -> C = F )

Assertion

Ref	Expression
supeq123d	|- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Proof of Theorem supeq123d

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq123d.b	. . . 4 |- ( ph -> B = E )
2		supeq123d.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A = D )
3		supeq123d.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C = F )
4	3	breqd 4054	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x C y <-> x F y ) )
5	4	notbid 668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x C y <-> -. x F y ) )
6	2, 5	raleqbidv 2717	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A -. x C y <-> A. y e. D -. x F y ) )
7	3	breqd 4054	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y C x <-> y F x ) )
8	3	breqd 4054	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y C z <-> y F z ) )
9	2, 8	rexeqbidv 2718	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. A y C z <-> E. z e. D y F z ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
11	1, 10	raleqbidv 2717	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
12	6, 11	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) <-> ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) ) )
13	1, 12	rabeqbidv 2766	. . 3 |- ( ph -> { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
14	13	unieqd 3860	. 2 |- ( ph -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
15		df-sup 7085	. 2 |- sup ( A , B , C ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) }
16		df-sup 7085	. 2 |- sup ( D , E , F ) = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) }
17	14, 15, 16	3eqtr4g 2262	1 |- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   A.wral 2483   E.wrex 2484   {crab 2487   U.cuni 3849   class class class wbr 4043   supcsup 7083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-uni 3850  df-br 4044  df-sup 7085

This theorem is referenced by:  infeq123d  7117