Theorem supeq123d 7108

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supeq123d.a	|- ( ph -> A = D )
supeq123d.b	|- ( ph -> B = E )
supeq123d.c	|- ( ph -> C = F )

Assertion

Ref	Expression
supeq123d	|- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Proof of Theorem supeq123d

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq123d.b	. . . 4 |- ( ph -> B = E )
2		supeq123d.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A = D )
3		supeq123d.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C = F )
4	3	breqd 4062	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x C y <-> x F y ) )
5	4	notbid 669	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x C y <-> -. x F y ) )
6	2, 5	raleqbidv 2719	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A -. x C y <-> A. y e. D -. x F y ) )
7	3	breqd 4062	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y C x <-> y F x ) )
8	3	breqd 4062	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y C z <-> y F z ) )
9	2, 8	rexeqbidv 2720	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. A y C z <-> E. z e. D y F z ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
11	1, 10	raleqbidv 2719	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
12	6, 11	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) <-> ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) ) )
13	1, 12	rabeqbidv 2768	. . 3 |- ( ph -> { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
14	13	unieqd 3867	. 2 |- ( ph -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
15		df-sup 7101	. 2 |- sup ( A , B , C ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) }
16		df-sup 7101	. 2 |- sup ( D , E , F ) = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) }
17	14, 15, 16	3eqtr4g 2264	1 |- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   A.wral 2485   E.wrex 2486   {crab 2489   U.cuni 3856   class class class wbr 4051   supcsup 7099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-uni 3857  df-br 4052  df-sup 7101

This theorem is referenced by:  infeq123d  7133