Theorem sup00 6898

Description: The supremum under an empty base set is always the empty set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sup00	|- sup ( B , (/) , R ) = (/)

Proof of Theorem sup00

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 6879	. 2 |- sup ( B , (/) , R ) = U. { x e. (/) | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. (/) ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) }
2		rab0 3396	. . 3 |- { x e. (/) | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. (/) ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = (/)
3	2	unieqi 3754	. 2 |- U. { x e. (/) | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. (/) ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = U. (/)
4		uni0 3771	. 2 |- U. (/) = (/)
5	1, 3, 4	3eqtri 2165	1 |- sup ( B , (/) , R ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   (/)c0 3368   U.cuni 3744   class class class wbr 3937   supcsup 6877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-sn 3538  df-uni 3745  df-sup 6879

This theorem is referenced by:  inf00  6926