Theorem supeq1 6963

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by NM, 22-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
supeq1	|- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2665	. . . . 5 |- ( B = C -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. y e. C -. x R y ) )
2		rexeq 2666	. . . . . . 7 |- ( B = C -> ( E. z e. B y R z <-> E. z e. C y R z ) )
3	2	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( B = C -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
4	3	ralbidv 2470	. . . . 5 |- ( B = C -> ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
5	1, 4	anbi12d 470	. . . 4 |- ( B = C -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) ) )
6	5	rabbidv 2719	. . 3 |- ( B = C -> { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = { x e. A | ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) } )
7	6	unieqd 3807	. 2 |- ( B = C -> U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = U. { x e. A | ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) } )
8		df-sup 6961	. 2 |- sup ( B , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) }
9		df-sup 6961	. 2 |- sup ( C , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) }
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2228	1 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   U.cuni 3796   class class class wbr 3989   supcsup 6959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-uni 3797  df-sup 6961

This theorem is referenced by:  supeq1d  6964  supeq1i  6965  infeq1  6988