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Theorem supeq1 6839
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by NM, 22-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
supeq1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  sup ( C ,  A ,  R ) )

Proof of Theorem supeq1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2601 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  C  -.  x R y ) )
2 rexeq 2602 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  C  y R
z ) )
32imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) ) )
43ralbidv 2412 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) ) )
51, 4anbi12d 462 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) ) )
65rabbidv 2647 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) } )
76unieqd 3715 . 2  |-  ( B  =  C  ->  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) } )
8 df-sup 6837 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
9 df-sup 6837 . 2  |-  sup ( C ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) }
107, 8, 93eqtr4g 2173 1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  sup ( C ,  A ,  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314   A.wral 2391   E.wrex 2392   {crab 2395   U.cuni 3704   class class class wbr 3897   supcsup 6835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-uni 3705  df-sup 6837
This theorem is referenced by:  supeq1d  6840  supeq1i  6841  infeq1  6864
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