Theorem supeq1 7245

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by NM, 22-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
supeq1	|- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2731	. . . . 5 |- ( B = C -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. y e. C -. x R y ) )
2		rexeq 2732	. . . . . . 7 |- ( B = C -> ( E. z e. B y R z <-> E. z e. C y R z ) )
3	2	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( B = C -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
4	3	ralbidv 2533	. . . . 5 |- ( B = C -> ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
5	1, 4	anbi12d 473	. . . 4 |- ( B = C -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) ) )
6	5	rabbidv 2792	. . 3 |- ( B = C -> { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = { x e. A | ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) } )
7	6	unieqd 3909	. 2 |- ( B = C -> U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = U. { x e. A | ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) } )
8		df-sup 7243	. 2 |- sup ( B , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) }
9		df-sup 7243	. 2 |- sup ( C , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) }
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2289	1 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   U.cuni 3898   class class class wbr 4093   supcsup 7241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-uni 3899  df-sup 7243

This theorem is referenced by:  supeq1d  7246  supeq1i  7247  infeq1  7270