ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supeq1 Unicode version

Theorem supeq1 6625
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by NM, 22-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
supeq1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  sup ( C ,  A ,  R ) )

Proof of Theorem supeq1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2558 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  C  -.  x R y ) )
2 rexeq 2559 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  C  y R
z ) )
32imbi2d 228 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) ) )
43ralbidv 2376 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) ) )
51, 4anbi12d 457 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) ) )
65rabbidv 2604 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) } )
76unieqd 3647 . 2  |-  ( B  =  C  ->  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) } )
8 df-sup 6623 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
9 df-sup 6623 . 2  |-  sup ( C ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) }
107, 8, 93eqtr4g 2142 1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  sup ( C ,  A ,  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287   A.wral 2355   E.wrex 2356   {crab 2359   U.cuni 3636   class class class wbr 3820   supcsup 6621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-uni 3637  df-sup 6623
This theorem is referenced by:  supeq1d  6626  supeq1i  6627  infeq1  6650
  Copyright terms: Public domain W3C validator