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Theorem supeq2 6962
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
supeq2  |-  ( B  =  C  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  C ,  R ) )

Proof of Theorem supeq2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabeq 2722 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
2 raleq 2665 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) )
32anbi2d 461 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
43rabbidv 2719 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
51, 4eqtrd 2203 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
65unieqd 3805 . 2  |-  ( B  =  C  ->  U. {
x  e.  B  | 
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
7 df-sup 6957 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  R )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
8 df-sup 6957 . 2  |-  sup ( A ,  C ,  R )  =  U. { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
96, 7, 83eqtr4g 2228 1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  C ,  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   U.cuni 3794   class class class wbr 3987   supcsup 6955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-uni 3795  df-sup 6957
This theorem is referenced by:  infeq2  6987
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