Theorem supeq2 7055

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
supeq2	|- ( B = C -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , C , R ) )

Proof of Theorem supeq2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeq 2755	. . . 4 |- ( B = C -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
2		raleq 2693	. . . . . 6 |- ( B = C -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) )
3	2	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( B = C -> ( ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) ) )
4	3	rabbidv 2752	. . . 4 |- ( B = C -> { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
5	1, 4	eqtrd 2229	. . 3 |- ( B = C -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
6	5	unieqd 3850	. 2 |- ( B = C -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = U. { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
7		df-sup 7050	. 2 |- sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
8		df-sup 7050	. 2 |- sup ( A , C , R ) = U. { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2254	1 |- ( B = C -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , C , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   U.cuni 3839   class class class wbr 4033   supcsup 7048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-uni 3840  df-sup 7050

This theorem is referenced by:  infeq2  7080