Theorem supeq2 7091

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
supeq2	|- ( B = C -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , C , R ) )

Proof of Theorem supeq2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeq 2764	. . . 4 |- ( B = C -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
2		raleq 2702	. . . . . 6 |- ( B = C -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) )
3	2	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( B = C -> ( ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) ) )
4	3	rabbidv 2761	. . . 4 |- ( B = C -> { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
5	1, 4	eqtrd 2238	. . 3 |- ( B = C -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
6	5	unieqd 3861	. 2 |- ( B = C -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = U. { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
7		df-sup 7086	. 2 |- sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
8		df-sup 7086	. 2 |- sup ( A , C , R ) = U. { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2263	1 |- ( B = C -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , C , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   A.wral 2484   E.wrex 2485   {crab 2488   U.cuni 3850   class class class wbr 4044   supcsup 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-uni 3851  df-sup 7086

This theorem is referenced by:  infeq2  7116