Theorem supeq2 6740

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
supeq2	|- ( B = C -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , C , R ) )

Proof of Theorem supeq2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeq 2614	. . . 4 |- ( B = C -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
2		raleq 2565	. . . . . 6 |- ( B = C -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) <-> A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) )
3	2	anbi2d 453	. . . . 5 |- ( B = C -> ( ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) ) )
4	3	rabbidv 2611	. . . 4 |- ( B = C -> { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
5	1, 4	eqtrd 2121	. . 3 |- ( B = C -> { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
6	5	unieqd 3672	. 2 |- ( B = C -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } = U. { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) } )
7		df-sup 6735	. 2 |- sup ( A , B , R ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
8		df-sup 6735	. 2 |- sup ( A , C , R ) = U. { x e. C | ( A. y e. A -. x R y /\ A. y e. C ( y R x -> E. z e. A y R z ) ) }
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2146	1 |- ( B = C -> sup ( A , B , R ) = sup ( A , C , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   A.wral 2360   E.wrex 2361   {crab 2364   U.cuni 3661   class class class wbr 3853   supcsup 6733

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-uni 3662  df-sup 6735

This theorem is referenced by:  infeq2  6765