Theorem supex2g 7134

Description: Existence of supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
supex2g	|- ( A e. C -> sup ( B , A , R ) e. _V )

Proof of Theorem supex2g

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 7085	. 2 |- sup ( B , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) }
2		rabexg 4186	. . 3 |- ( A e. C -> { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } e. _V )
3	2	uniexd 4486	. 2 |- ( A e. C -> U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2291	1 |- ( A e. C -> sup ( B , A , R ) e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   {crab 2487   _Vcvv 2771   U.cuni 3849   class class class wbr 4043   supcsup 7083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-in 3171  df-ss 3178  df-uni 3850  df-sup 7085

This theorem is referenced by:  infex2g  7135  pczpre  12591