Theorem supex2g 7373

Description: Existence of supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
supex2g	|- ( A e. C -> sup ( B , A , R ) e. _V )

Proof of Theorem supex2g

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 7324	. 2 |- sup ( B , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) }
2		rabexg 4279	. . 3 |- ( A e. C -> { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } e. _V )
3	2	uniexd 4586	. 2 |- ( A e. C -> U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2325	1 |- ( A e. C -> sup ( B , A , R ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   _Vcvv 2821   U.cuni 3935   class class class wbr 4130   supcsup 7322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-uni 3936  df-sup 7324

This theorem is used by:  infex2g  7374  pczpre  13076