Theorem supex2g 6994

Description: Existence of supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
supex2g	|- ( A e. C -> sup ( B , A , R ) e. _V )

Proof of Theorem supex2g

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 6945	. 2 |- sup ( B , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) }
2		rabexg 4124	. . 3 |- ( A e. C -> { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } e. _V )
3	2	uniexd 4417	. 2 |- ( A e. C -> U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2252	1 |- ( A e. C -> sup ( B , A , R ) e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   {crab 2447   _Vcvv 2725   U.cuni 3788   class class class wbr 3981   supcsup 6943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-un 4410

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-in 3121  df-ss 3128  df-uni 3789  df-sup 6945

This theorem is referenced by:  infex2g  6995  pczpre  12225