Theorem supex2g 7034

Description: Existence of supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
supex2g	|- ( A e. C -> sup ( B , A , R ) e. _V )

Proof of Theorem supex2g

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 6985	. 2 |- sup ( B , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) }
2		rabexg 4148	. . 3 |- ( A e. C -> { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } e. _V )
3	2	uniexd 4442	. 2 |- ( A e. C -> U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2264	1 |- ( A e. C -> sup ( B , A , R ) e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   _Vcvv 2739   U.cuni 3811   class class class wbr 4005   supcsup 6983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-uni 3812  df-sup 6985

This theorem is referenced by:  infex2g  7035  pczpre  12299