Theorem onntri13 7350

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri13	|- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Proof of Theorem onntri13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnral 2496	. 2 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On -. -. A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
2		nnral 2496	. . 3 |- ( -. -. A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
3	2	ralimi 2569	. 2 |- ( A. x e. On -. -. A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ w3o 980   A.wral 2484   Oncon0 4410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-5 1470  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-ial 1557

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-ral 2489  df-rex 2490

This theorem is referenced by:  onntri3or  7357