Theorem onntri13 7167

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri13	|- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Proof of Theorem onntri13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnral 2447	. 2 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On -. -. A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
2		nnral 2447	. . 3 |- ( -. -. A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
3	2	ralimi 2520	. 2 |- ( A. x e. On -. -. A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ w3o 962   A.wral 2435   Oncon0 4323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-5 1427  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-ial 1514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-ral 2440  df-rex 2441

This theorem is referenced by:  onntri3or  7174