Theorem onntri3or 7222

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri3or	|- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onntri51 7217	. . 3 |- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
2		onntri13 7215	. . 3 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( -. -. EXMID -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
4		onntri35 7214	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> -. -. EXMID )
5	3, 4	impbii 125	1 |- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   \/ w3o 972   A.wral 2448  EXMIDwem 4180   Oncon0 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-exmid 4181  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-1o 6395  df-2o 6396  df-3o 6397

This theorem is referenced by: (None)