Theorem onntri3or 7594

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri3or	|- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onntri51 7589	. . 3 |- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
2		onntri13 7587	. . 3 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( -. -. EXMID -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
4		onntri35 7586	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> -. -. EXMID )
5	3, 4	impbii 126	1 |- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   \/ w3o 1008   A.wral 2528  EXMIDwem 4326   Oncon0 4503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-tr 4225  df-exmid 4327  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-1o 6677  df-2o 6678  df-3o 6679

This theorem is referenced by: (None)