Theorem onntri3or 7180

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri3or	|- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onntri51 7175	. . 3 |- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
2		onntri13 7173	. . 3 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( -. -. EXMID -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
4		onntri35 7172	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> -. -. EXMID )
5	3, 4	impbii 125	1 |- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   \/ w3o 962   A.wral 2435  EXMIDwem 4155   Oncon0 4323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-int 3808  df-tr 4063  df-exmid 4156  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-1o 6363  df-2o 6364  df-3o 6365

This theorem is referenced by: (None)