ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  onntri3or Unicode version

Theorem onntri3or 7246
Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
onntri3or  |-  ( -. 
-. EXMID  <->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  -.  -.  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem onntri3or
StepHypRef Expression
1 onntri51 7241 . . 3  |-  ( -. 
-. EXMID 
->  -.  -.  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
2 onntri13 7239 . . 3  |-  ( -. 
-.  A. x  e.  On  A. y  e.  On  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  -.  -.  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( -. 
-. EXMID 
->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  -.  -.  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
4 onntri35 7238 . 2  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  -.  -.  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  -.  -. EXMID )
53, 4impbii 126 1  |-  ( -. 
-. EXMID  <->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  -.  -.  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 105    \/ w3o 977   A.wral 2455  EXMIDwem 4196   Oncon0 4365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-tr 4104  df-exmid 4197  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-1o 6419  df-2o 6420  df-3o 6421
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator