Theorem exmidontri 7195

Description: Ordinal trichotomy is equivalent to excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontri	|- (EXMID <-> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidontri

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriim 7181	. 2 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
2		ontriexmidim 4499	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> DECID z = { (/) } )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) /\ z C_ { (/) } ) -> DECID z = { (/) } )
4	3	exmid1dc 4179	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> EXMID )
5	1, 4	impbii 125	1 |- (EXMID <-> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   <-> wb 104  DECID wdc 824   \/ w3o 967   = wceq 1343   A.wral 2444   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576  EXMIDwem 4173   Oncon0 4341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-uni 3790  df-tr 4081  df-exmid 4174  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349

This theorem is referenced by: (None)