Theorem exmidontri 7301

Description: Ordinal trichotomy is equivalent to excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontri	|- (EXMID <-> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidontri

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriim 7287	. 2 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
2		ontriexmidim 4555	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> DECID z = { (/) } )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) /\ z C_ { (/) } ) -> DECID z = { (/) } )
4	3	exmid1dc 4230	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> EXMID )
5	1, 4	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   <-> wb 105  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   A.wral 2472   C_ wss 3154   (/)c0 3447   {csn 3619  EXMIDwem 4224   Oncon0 4395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-uni 3837  df-tr 4129  df-exmid 4225  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403

This theorem is referenced by: (None)