Theorem exmidontri 7216

Description: Ordinal trichotomy is equivalent to excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontri	|- (EXMID <-> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidontri

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriim 7202	. 2 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
2		ontriexmidim 4506	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> DECID z = { (/) } )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) /\ z C_ { (/) } ) -> DECID z = { (/) } )
4	3	exmid1dc 4186	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> EXMID )
5	1, 4	impbii 125	1 |- (EXMID <-> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   <-> wb 104  DECID wdc 829   \/ w3o 972   = wceq 1348   A.wral 2448   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583  EXMIDwem 4180   Oncon0 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-exmid 4181  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356

This theorem is referenced by: (None)