Theorem onntri24 7198

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri24	|- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Proof of Theorem onntri24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnral 2456	. 2 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On -. -. A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
2		nnral 2456	. . 3 |- ( -. -. A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
3	2	ralimi 2529	. 2 |- ( A. x e. On -. -. A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 698   A.wral 2444   C_ wss 3116   Oncon0 4341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-5 1435  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-ial 1522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-ral 2449  df-rex 2450

This theorem is referenced by:  onntri2or  7202