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Theorem onntri24 7178
Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
onntri24  |-  ( -. 
-.  A. x  e.  On  A. y  e.  On  (
x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  -.  -.  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )

Proof of Theorem onntri24
StepHypRef Expression
1 nnral 2447 . 2  |-  ( -. 
-.  A. x  e.  On  A. y  e.  On  (
x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  A. x  e.  On  -.  -.  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
2 nnral 2447 . . 3  |-  ( -. 
-.  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  A. y  e.  On  -.  -.  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
32ralimi 2520 . 2  |-  ( A. x  e.  On  -.  -.  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  -.  -.  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
41, 3syl 14 1  |-  ( -. 
-.  A. x  e.  On  A. y  e.  On  (
x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  -.  -.  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 698   A.wral 2435    C_ wss 3102   Oncon0 4324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-5 1427  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-ial 1514
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-ral 2440  df-rex 2441
This theorem is referenced by:  onntri2or  7182
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