Theorem onntri24 7259

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri24	|- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Proof of Theorem onntri24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnral 2480	. 2 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On -. -. A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
2		nnral 2480	. . 3 |- ( -. -. A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
3	2	ralimi 2553	. 2 |- ( A. x e. On -. -. A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 709   A.wral 2468   C_ wss 3144   Oncon0 4378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-5 1458  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-ial 1545

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-ral 2473  df-rex 2474

This theorem is referenced by:  onntri2or  7263