Theorem onntri24 7254

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri24	|- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Proof of Theorem onntri24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnral 2477	. 2 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On -. -. A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
2		nnral 2477	. . 3 |- ( -. -. A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
3	2	ralimi 2550	. 2 |- ( A. x e. On -. -. A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 709   A.wral 2465   C_ wss 3141   Oncon0 4375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-5 1457  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-ial 1544

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-ral 2470  df-rex 2471

This theorem is referenced by:  onntri2or  7258