Theorem onntri2or 7605

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri2or	|- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri2or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onntri52 7603	. . 3 |- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
2		onntri24 7601	. . 3 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( -. -. EXMID -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
4		onntri45 7600	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. EXMID )
5	3, 4	impbii 126	1 |- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   <-> wb 105   \/ wo 720   A.wral 2528   C_ wss 3220  EXMIDwem 4331   Oncon0 4508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4230  df-exmid 4332  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-1o 6687  df-2o 6688  df-3o 6689

This theorem is used by: (None)