Theorem onntri2or 7427

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri2or	|- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri2or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onntri52 7425	. . 3 |- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
2		onntri24 7423	. . 3 |- ( -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( -. -. EXMID -> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )
4		onntri45 7422	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. EXMID )
5	3, 4	impbii 126	1 |- ( -. -. EXMID <-> A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   \/ wo 713   A.wral 2508   C_ wss 3197  EXMIDwem 4277   Oncon0 4453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-int 3923  df-tr 4182  df-exmid 4278  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-1o 6560  df-2o 6561  df-3o 6562

This theorem is referenced by: (None)