Theorem onntri45 7551

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri45	|- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. EXMID )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri45

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7536	. . . . 5 |- ~P 1o e. On
2	1	onsuci 4638	. . . 4 |- suc ~P 1o e. On
3		3on 6658	. . . 4 |- 3o e. On
4		sseq1 3261	. . . . . . . 8 |- ( x = suc ~P 1o -> ( x C_ y <-> suc ~P 1o C_ y ) )
5		sseq2 3262	. . . . . . . 8 |- ( x = suc ~P 1o -> ( y C_ x <-> y C_ suc ~P 1o ) )
6	4, 5	orbi12d 801	. . . . . . 7 |- ( x = suc ~P 1o -> ( ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) ) )
7	6	notbid 673	. . . . . 6 |- ( x = suc ~P 1o -> ( -. ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> -. ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) ) )
8	7	notbid 673	. . . . 5 |- ( x = suc ~P 1o -> ( -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> -. -. ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) ) )
9		sseq2 3262	. . . . . . . 8 |- ( y = 3o -> ( suc ~P 1o C_ y <-> suc ~P 1o C_ 3o ) )
10		sseq1 3261	. . . . . . . 8 |- ( y = 3o -> ( y C_ suc ~P 1o <-> 3o C_ suc ~P 1o ) )
11	9, 10	orbi12d 801	. . . . . . 7 |- ( y = 3o -> ( ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) <-> ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) ) )
12	11	notbid 673	. . . . . 6 |- ( y = 3o -> ( -. ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) <-> -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) ) )
13	12	notbid 673	. . . . 5 |- ( y = 3o -> ( -. -. ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) <-> -. -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) ) )
14	8, 13	rspc2v 2934	. . . 4 |- ( ( suc ~P 1o e. On /\ 3o e. On ) -> ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) ) )
15	2, 3, 14	mp2an 426	. . 3 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) )
16		ioran 760	. . 3 |- ( -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) <-> ( -. suc ~P 1o C_ 3o /\ -. 3o C_ suc ~P 1o ) )
17	15, 16	sylnib 683	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. ( -. suc ~P 1o C_ 3o /\ -. 3o C_ suc ~P 1o ) )
18		sucpw1nss3 7545	. . 3 |- ( -. EXMID -> -. suc ~P 1o C_ 3o )
19		3nsssucpw1 7546	. . 3 |- ( -. EXMID -> -. 3o C_ suc ~P 1o )
20	18, 19	jca 306	. 2 |- ( -. EXMID -> ( -. suc ~P 1o C_ 3o /\ -. 3o C_ suc ~P 1o ) )
21	17, 20	nsyl 633	1 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669  EXMIDwem 4307   Oncon0 4484   suc csuc 4486   1oc1o 6640   3oc3o 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-tr 4209  df-exmid 4308  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-1o 6647  df-2o 6648  df-3o 6649

This theorem is referenced by:  onntri2or  7556