Theorem onntri45 7426

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri45	|- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. EXMID )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri45

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7411	. . . . 5 |- ~P 1o e. On
2	1	onsuci 4608	. . . 4 |- suc ~P 1o e. On
3		3on 6573	. . . 4 |- 3o e. On
4		sseq1 3247	. . . . . . . 8 |- ( x = suc ~P 1o -> ( x C_ y <-> suc ~P 1o C_ y ) )
5		sseq2 3248	. . . . . . . 8 |- ( x = suc ~P 1o -> ( y C_ x <-> y C_ suc ~P 1o ) )
6	4, 5	orbi12d 798	. . . . . . 7 |- ( x = suc ~P 1o -> ( ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) ) )
7	6	notbid 671	. . . . . 6 |- ( x = suc ~P 1o -> ( -. ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> -. ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) ) )
8	7	notbid 671	. . . . 5 |- ( x = suc ~P 1o -> ( -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> -. -. ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) ) )
9		sseq2 3248	. . . . . . . 8 |- ( y = 3o -> ( suc ~P 1o C_ y <-> suc ~P 1o C_ 3o ) )
10		sseq1 3247	. . . . . . . 8 |- ( y = 3o -> ( y C_ suc ~P 1o <-> 3o C_ suc ~P 1o ) )
11	9, 10	orbi12d 798	. . . . . . 7 |- ( y = 3o -> ( ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) <-> ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) ) )
12	11	notbid 671	. . . . . 6 |- ( y = 3o -> ( -. ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) <-> -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) ) )
13	12	notbid 671	. . . . 5 |- ( y = 3o -> ( -. -. ( suc ~P 1o C_ y \/ y C_ suc ~P 1o ) <-> -. -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) ) )
14	8, 13	rspc2v 2920	. . . 4 |- ( ( suc ~P 1o e. On /\ 3o e. On ) -> ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) ) )
15	2, 3, 14	mp2an 426	. . 3 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) )
16		ioran 757	. . 3 |- ( -. ( suc ~P 1o C_ 3o \/ 3o C_ suc ~P 1o ) <-> ( -. suc ~P 1o C_ 3o /\ -. 3o C_ suc ~P 1o ) )
17	15, 16	sylnib 680	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. ( -. suc ~P 1o C_ 3o /\ -. 3o C_ suc ~P 1o ) )
18		sucpw1nss3 7420	. . 3 |- ( -. EXMID -> -. suc ~P 1o C_ 3o )
19		3nsssucpw1 7421	. . 3 |- ( -. EXMID -> -. 3o C_ suc ~P 1o )
20	18, 19	jca 306	. 2 |- ( -. EXMID -> ( -. suc ~P 1o C_ 3o /\ -. 3o C_ suc ~P 1o ) )
21	17, 20	nsyl 631	1 |- ( A. x e. On A. y e. On -. -. ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. -. EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649  EXMIDwem 4278   Oncon0 4454   suc csuc 4456   1oc1o 6555   3oc3o 6557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-tr 4183  df-exmid 4279  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-1o 6562  df-2o 6563  df-3o 6564

This theorem is referenced by:  onntri2or  7431