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Theorem sbequilem 1766
Description: Propositional logic lemma used in the sbequi 1767 proof. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sbequilem.1  |-  ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th ) ) )
sbequilem.2  |-  ( ta  \/  ( ps  ->  ( th  ->  et )
) )
Assertion
Ref Expression
sbequilem  |-  ( ph  \/  ( ta  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) )

Proof of Theorem sbequilem
StepHypRef Expression
1 sbequilem.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2 sbequilem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ta  \/  ( ps  ->  ( th  ->  et )
) )
31, 2pm3.2i 266 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th )
) )  /\  ( ta  \/  ( ps  ->  ( th  ->  et )
) ) )
4 andi 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th ) ) )  /\  ( ta  \/  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) ) )  <-> 
( ( ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th ) ) )  /\  ta )  \/  ( ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch 
->  th ) ) )  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et )
) ) ) )
53, 4mpbi 143 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th ) ) )  /\  ta )  \/  (
( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th ) ) )  /\  ( ps  ->  ( th 
->  et ) ) ) )
6 andir 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th ) ) )  /\  ta )  <->  ( ( ph  /\ 
ta )  \/  (
( ps  ->  ( ch  ->  th ) )  /\  ta ) ) )
7 andir 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th ) ) )  /\  ( ps  ->  ( th 
->  et ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( ps  ->  ( th 
->  et ) ) )  \/  ( ( ps 
->  ( ch  ->  th )
)  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) ) ) )
86, 7orbi12i 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch 
->  th ) ) )  /\  ta )  \/  ( ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch 
->  th ) ) )  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et )
) ) )  <->  ( (
( ph  /\  ta )  \/  ( ( ps  ->  ( ch  ->  th )
)  /\  ta )
)  \/  ( (
ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ( ps  ->  ( ch  ->  th )
)  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) ) ) ) )
95, 8mpbi 143 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ta )  \/  ( ( ps  ->  ( ch  ->  th ) )  /\  ta ) )  \/  (
( ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ( ps  ->  ( ch  ->  th )
)  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) ) ) )
10 pm3.43 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ps  ->  ( ch  ->  th ) )  /\  ( ps  ->  ( th 
->  et ) ) )  ->  ( ps  ->  ( ( ch  ->  th )  /\  ( th  ->  et ) ) ) )
11 pm3.33 337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ch  ->  th )  /\  ( th  ->  et ) )  ->  ( ch  ->  et ) )
1210, 11syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ps  ->  ( ch  ->  th ) )  /\  ( ps  ->  ( th 
->  et ) ) )  ->  ( ps  ->  ( ch  ->  et )
) )
1312orim2i 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ( ps  ->  ( ch  ->  th )
)  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ps 
->  ( ch  ->  et ) ) ) )
1413orim2i 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ta )  \/  (
( ps  ->  ( ch  ->  th ) )  /\  ta ) )  \/  (
( ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ( ps  ->  ( ch  ->  th )
)  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) ) ) )  ->  ( (
( ph  /\  ta )  \/  ( ( ps  ->  ( ch  ->  th )
)  /\  ta )
)  \/  ( (
ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) ) )
159, 14ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ta )  \/  ( ( ps  ->  ( ch  ->  th ) )  /\  ta ) )  \/  (
( ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) )
16 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  th ) ) )  /\  ta )  ->  ta )
176, 16sylbir 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ta )  \/  ( ( ps  ->  ( ch  ->  th ) )  /\  ta ) )  ->  ta )
1817orim1i 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ta )  \/  (
( ps  ->  ( ch  ->  th ) )  /\  ta ) )  \/  (
( ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) )  ->  ( ta  \/  ( ( ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ps 
->  ( ch  ->  et ) ) ) ) )
1915, 18ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( ta  \/  ( ( ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ps 
->  ( ch  ->  et ) ) ) )
20 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  ->  ph )
2120orim1i 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) )  ->  ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) )
2221orim2i 713 . . . . 5  |-  ( ( ta  \/  ( (
ph  /\  ( ps  ->  ( th  ->  et ) ) )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) )  ->  ( ta  \/  ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch 
->  et ) ) ) ) )
2319, 22ax-mp 7 . . . 4  |-  ( ta  \/  ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch 
->  et ) ) ) )
24 orass 719 . . . 4  |-  ( ( ( ta  \/  ph )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) )  <->  ( ta  \/  ( ph  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) ) )
2523, 24mpbir 144 . . 3  |-  ( ( ta  \/  ph )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) )
26 orcom 682 . . . 4  |-  ( ( ta  \/  ph )  <->  (
ph  \/  ta )
)
2726orbi1i 715 . . 3  |-  ( ( ( ta  \/  ph )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) )  <->  ( ( ph  \/  ta )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) )
2825, 27mpbi 143 . 2  |-  ( (
ph  \/  ta )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) )
29 orass 719 . 2  |-  ( ( ( ph  \/  ta )  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) )  <->  ( ph  \/  ( ta  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) ) )
3028, 29mpbi 143 1  |-  ( ph  \/  ( ta  \/  ( ps  ->  ( ch  ->  et ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665
This theorem depends on definitions:  df-bi 115
This theorem is referenced by:  sbequi  1767
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