Theorem sbequilem 1826

Description: Propositional logic lemma used in the sbequi 1827 proof. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbequilem.1	⊢ (𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃)))
sbequilem.2	⊢ (𝜏 ∨ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂)))

Assertion

Ref	Expression
sbequilem	⊢ (𝜑 ∨ (𝜏 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))))

Proof of Theorem sbequilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbequilem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃)))
2		sbequilem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜏 ∨ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂)))
3	1, 2	pm3.2i 270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ (𝜏 ∨ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))))
4		andi 808	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ (𝜏 ∨ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂)))) ↔ (((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ 𝜏) ∨ ((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂)))))
5	3, 4	mpbi 144	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ 𝜏) ∨ ((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))))
6		andir 809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ 𝜏) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜏) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ 𝜏)))
7		andir 809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂)))))
8	6, 7	orbi12i 754	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ 𝜏) ∨ ((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂)))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜏) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ 𝜏)) ∨ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))))))
9	5, 8	mpbi 144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜏) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ 𝜏)) ∨ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂)))))
10		pm3.43 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) → (𝜓 → ((𝜒 → 𝜃) ∧ (𝜃 → 𝜂))))
11		pm3.33 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜒 → 𝜃) ∧ (𝜃 → 𝜂)) → (𝜒 → 𝜂))
12	10, 11	syl6 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) → (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))
13	12	orim2i 751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂)))) → ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))))
14	13	orim2i 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜏) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ 𝜏)) ∨ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))))) → (((𝜑 ∧ 𝜏) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ 𝜏)) ∨ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))))
15	9, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜏) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ 𝜏)) ∨ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))))
16		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜃))) ∧ 𝜏) → 𝜏)
17	6, 16	sylbir 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜏) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ 𝜏)) → 𝜏)
18	17	orim1i 750	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜏) ∨ ((𝜓 → (𝜒 → 𝜃)) ∧ 𝜏)) ∨ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))) → (𝜏 ∨ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))))
19	15, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝜏 ∨ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))))
20		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) → 𝜑)
21	20	orim1i 750	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))) → (𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))))
22	21	orim2i 751	. . . . 5 ⊢ ((𝜏 ∨ ((𝜑 ∧ (𝜓 → (𝜃 → 𝜂))) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))) → (𝜏 ∨ (𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))))
23	19, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝜏 ∨ (𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))))
24		orass 757	. . . 4 ⊢ (((𝜏 ∨ 𝜑) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))) ↔ (𝜏 ∨ (𝜑 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))))
25	23, 24	mpbir 145	. . 3 ⊢ ((𝜏 ∨ 𝜑) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))
26		orcom 718	. . . 4 ⊢ ((𝜏 ∨ 𝜑) ↔ (𝜑 ∨ 𝜏))
27	26	orbi1i 753	. . 3 ⊢ (((𝜏 ∨ 𝜑) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜏) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))))
28	25, 27	mpbi 144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜏) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))
29		orass 757	. 2 ⊢ (((𝜑 ∨ 𝜏) ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))) ↔ (𝜑 ∨ (𝜏 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂)))))
30	28, 29	mpbi 144	1 ⊢ (𝜑 ∨ (𝜏 ∨ (𝜓 → (𝜒 → 𝜂))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699

This theorem depends on definitions:  df-bi 116

This theorem is referenced by:  sbequi  1827