Theorem 4exdistr 1916

Description: Distribution of existential quantifiers. (Contributed by NM, 9-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
4exdistr	⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ ∃𝑥(𝜑 ∧ ∃𝑦(𝜓 ∧ ∃𝑧(𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧   𝜑,𝑤   𝜓,𝑧   𝜓,𝑤   𝜒,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4exdistr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ 𝜃))))
2	1	exbii 1605	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ ∃𝑤(𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ 𝜃))))
3		19.42v 1906	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤(𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ 𝜃))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑤(𝜓 ∧ (𝜒 ∧ 𝜃))))
4		19.42v 1906	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝜓 ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ (𝜓 ∧ ∃𝑤(𝜒 ∧ 𝜃)))
5	4	anbi2i 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤(𝜓 ∧ (𝜒 ∧ 𝜃))) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ ∃𝑤(𝜒 ∧ 𝜃))))
6		19.42v 1906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤(𝜒 ∧ 𝜃) ↔ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))
7	6	anbi2i 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜓 ∧ ∃𝑤(𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃)))
8	7	anbi2i 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ ∃𝑤(𝜒 ∧ 𝜃))) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
9	3, 5, 8	3bitri 206	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤(𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ 𝜃))) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
10	2, 9	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
11	10	exbii 1605	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ ∃𝑧(𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
12		19.42v 1906	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑧(𝜓 ∧ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
13		19.42v 1906	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧(𝜓 ∧ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃)) ↔ (𝜓 ∧ ∃𝑧(𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃)))
14	13	anbi2i 457	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧(𝜓 ∧ (𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ ∃𝑧(𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
15	11, 12, 14	3bitri 206	. . . 4 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ ∃𝑧(𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
16	15	exbii 1605	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ ∃𝑦(𝜑 ∧ (𝜓 ∧ ∃𝑧(𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
17		19.42v 1906	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝜑 ∧ (𝜓 ∧ ∃𝑧(𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑦(𝜓 ∧ ∃𝑧(𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
18	16, 17	bitri 184	. 2 ⊢ (∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑦(𝜓 ∧ ∃𝑧(𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))
19	18	exbii 1605	1 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ↔ ∃𝑥(𝜑 ∧ ∃𝑦(𝜓 ∧ ∃𝑧(𝜒 ∧ ∃𝑤𝜃))))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-ial 1534

This theorem depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is referenced by: (None)