ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  df-ap GIF version

Definition df-ap 8542
Description: Define complex apartness. Definition 6.1 of [Geuvers], p. 17.

Two numbers are considered apart if it is possible to separate them. One common usage is that we can divide by a number if it is apart from zero (see for example recclap 8639 which says that a number apart from zero has a reciprocal).

The defining characteristics of an apartness are irreflexivity (apirr 8565), symmetry (apsym 8566), and cotransitivity (apcotr 8567). Apartness implies negated equality, as seen at apne 8583, and the converse would also follow if we assumed excluded middle.

In addition, apartness of complex numbers is tight, which means that two numbers which are not apart are equal (apti 8582).

(Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion
Ref Expression
df-ap # = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))}
Distinct variable group:   ๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Detailed syntax breakdown of Definition df-ap
StepHypRef Expression
1 cap 8541 . 2 class #
2 vx . . . . . . . . . . 11 setvar ๐‘ฅ
32cv 1352 . . . . . . . . . 10 class ๐‘ฅ
4 vr . . . . . . . . . . . 12 setvar ๐‘Ÿ
54cv 1352 . . . . . . . . . . 11 class ๐‘Ÿ
6 ci 7816 . . . . . . . . . . . 12 class i
7 vs . . . . . . . . . . . . 13 setvar ๐‘ 
87cv 1352 . . . . . . . . . . . 12 class ๐‘ 
9 cmul 7819 . . . . . . . . . . . 12 class ยท
106, 8, 9co 5878 . . . . . . . . . . 11 class (i ยท ๐‘ )
11 caddc 7817 . . . . . . . . . . 11 class +
125, 10, 11co 5878 . . . . . . . . . 10 class (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ ))
133, 12wceq 1353 . . . . . . . . 9 wff ๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ ))
14 vy . . . . . . . . . . 11 setvar ๐‘ฆ
1514cv 1352 . . . . . . . . . 10 class ๐‘ฆ
16 vt . . . . . . . . . . . 12 setvar ๐‘ก
1716cv 1352 . . . . . . . . . . 11 class ๐‘ก
18 vu . . . . . . . . . . . . 13 setvar ๐‘ข
1918cv 1352 . . . . . . . . . . . 12 class ๐‘ข
206, 19, 9co 5878 . . . . . . . . . . 11 class (i ยท ๐‘ข)
2117, 20, 11co 5878 . . . . . . . . . 10 class (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))
2215, 21wceq 1353 . . . . . . . . 9 wff ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))
2313, 22wa 104 . . . . . . . 8 wff (๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข)))
24 creap 8534 . . . . . . . . . 10 class #โ„
255, 17, 24wbr 4005 . . . . . . . . 9 wff ๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก
268, 19, 24wbr 4005 . . . . . . . . 9 wff ๐‘  #โ„ ๐‘ข
2725, 26wo 708 . . . . . . . 8 wff (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข)
2823, 27wa 104 . . . . . . 7 wff ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
29 cr 7813 . . . . . . 7 class โ„
3028, 18, 29wrex 2456 . . . . . 6 wff โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
3130, 16, 29wrex 2456 . . . . 5 wff โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
3231, 7, 29wrex 2456 . . . 4 wff โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
3332, 4, 29wrex 2456 . . 3 wff โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
3433, 2, 14copab 4065 . 2 class {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))}
351, 34wceq 1353 1 wff # = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))}
Colors of variables: wff set class
This definition is referenced by:  apreap  8547  apreim  8563  aprcl  8606  aptap  8610
  Copyright terms: Public domain W3C validator