ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  df-ap GIF version

Definition df-ap 8553
Description: Define complex apartness. Definition 6.1 of [Geuvers], p. 17.

Two numbers are considered apart if it is possible to separate them. One common usage is that we can divide by a number if it is apart from zero (see for example recclap 8650 which says that a number apart from zero has a reciprocal).

The defining characteristics of an apartness are irreflexivity (apirr 8576), symmetry (apsym 8577), and cotransitivity (apcotr 8578). Apartness implies negated equality, as seen at apne 8594, and the converse would also follow if we assumed excluded middle.

In addition, apartness of complex numbers is tight, which means that two numbers which are not apart are equal (apti 8593).

(Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion
Ref Expression
df-ap # = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))}
Distinct variable group:   ๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Detailed syntax breakdown of Definition df-ap
StepHypRef Expression
1 cap 8552 . 2 class #
2 vx . . . . . . . . . . 11 setvar ๐‘ฅ
32cv 1362 . . . . . . . . . 10 class ๐‘ฅ
4 vr . . . . . . . . . . . 12 setvar ๐‘Ÿ
54cv 1362 . . . . . . . . . . 11 class ๐‘Ÿ
6 ci 7827 . . . . . . . . . . . 12 class i
7 vs . . . . . . . . . . . . 13 setvar ๐‘ 
87cv 1362 . . . . . . . . . . . 12 class ๐‘ 
9 cmul 7830 . . . . . . . . . . . 12 class ยท
106, 8, 9co 5888 . . . . . . . . . . 11 class (i ยท ๐‘ )
11 caddc 7828 . . . . . . . . . . 11 class +
125, 10, 11co 5888 . . . . . . . . . 10 class (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ ))
133, 12wceq 1363 . . . . . . . . 9 wff ๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ ))
14 vy . . . . . . . . . . 11 setvar ๐‘ฆ
1514cv 1362 . . . . . . . . . 10 class ๐‘ฆ
16 vt . . . . . . . . . . . 12 setvar ๐‘ก
1716cv 1362 . . . . . . . . . . 11 class ๐‘ก
18 vu . . . . . . . . . . . . 13 setvar ๐‘ข
1918cv 1362 . . . . . . . . . . . 12 class ๐‘ข
206, 19, 9co 5888 . . . . . . . . . . 11 class (i ยท ๐‘ข)
2117, 20, 11co 5888 . . . . . . . . . 10 class (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))
2215, 21wceq 1363 . . . . . . . . 9 wff ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))
2313, 22wa 104 . . . . . . . 8 wff (๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข)))
24 creap 8545 . . . . . . . . . 10 class #โ„
255, 17, 24wbr 4015 . . . . . . . . 9 wff ๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก
268, 19, 24wbr 4015 . . . . . . . . 9 wff ๐‘  #โ„ ๐‘ข
2725, 26wo 709 . . . . . . . 8 wff (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข)
2823, 27wa 104 . . . . . . 7 wff ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
29 cr 7824 . . . . . . 7 class โ„
3028, 18, 29wrex 2466 . . . . . 6 wff โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
3130, 16, 29wrex 2466 . . . . 5 wff โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
3231, 7, 29wrex 2466 . . . 4 wff โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
3332, 4, 29wrex 2466 . . 3 wff โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))
3433, 2, 14copab 4075 . 2 class {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))}
351, 34wceq 1363 1 wff # = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))}
Colors of variables: wff set class
This definition is referenced by:  apreap  8558  apreim  8574  aprcl  8617  aptap  8621
  Copyright terms: Public domain W3C validator