Theorem apreim 8562

Description: Complex apartness in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apreim	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Proof of Theorem apreim

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7988	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ax-icn 7908	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → i ∈ ℂ)
5		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 7988	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 7980	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 7	addcld 7979	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
9		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 7988	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 7988	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	4, 12	mulcld 7980	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 7979	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
15		eqeq1 2184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠))))
16	15	anbi1d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
17	16	anbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
18	17	2rexbidv 2502	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
19	18	2rexbidv 2502	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
20		eqeq1 2184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))))
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
22	21	anbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
23	22	2rexbidv 2502	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
24	23	2rexbidv 2502	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
25		df-ap 8541	. . . . 5 ⊢ # = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))}
26	19, 24, 25	brabg 4271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
27	8, 14, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
28		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))
29	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	9	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐶 ∈ ℝ)
31		apreap 8546	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
33	5	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐷 ∈ ℝ)
35		apreap 8546	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
37	32, 36	orbi12d 793	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
38		simprll 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)))
39		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ))
40		cru 8561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠)))
41	29, 33, 39, 40	syl21anc 1237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠)))
42	38, 41	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠))
43	42	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 = 𝑟)
44		simprlr 538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))
45		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ))
46		cru 8561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢)))
47	30, 34, 45, 46	syl21anc 1237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢)))
48	44, 47	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢))
49	48	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐶 = 𝑡)
50	43, 49	breq12d 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 #ℝ 𝐶 ↔ 𝑟 #ℝ 𝑡))
51	42	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 = 𝑠)
52	48	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐷 = 𝑢)
53	51, 52	breq12d 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐵 #ℝ 𝐷 ↔ 𝑠 #ℝ 𝑢))
54	50, 53	orbi12d 793	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
55	37, 54	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
56	28, 55	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷))
57	56	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
58	57	rexlimdvva 2602	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
59	58	rexlimdvva 2602	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
60	27, 59	sylbid 150	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
61	31	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
62	35	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
63	61, 62	orbi12d 793	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
64	63	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
65		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵))
66		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))
67	65, 66	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
68	67	biantrur 303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
69		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 + (i · 𝑢)) = (𝐶 + (i · 𝑢)))
70	69	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))))
71	70	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢)))))
72		breq2 4009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝐴 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
73	72	orbi1d 791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
74	71, 73	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
75		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (i · 𝑢) = (i · 𝐷))
76	75	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝐶 + (i · 𝑢)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
77	76	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))))
78	77	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))))
79		breq2 4009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝐵 #ℝ 𝑢 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
80	79	orbi2d 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
81	78, 80	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))))
82	74, 81	rspc2ev 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
83	68, 82	syl3an3b 1276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
84	83	3expa 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
85		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝑠)))
86	85	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠))))
87	86	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
88		breq1 4008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝑡))
89	88	orbi1d 791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
90	87, 89	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
91	90	2rexbidv 2502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
92		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (i · 𝑠) = (i · 𝐵))
93	92	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (𝐴 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
94	93	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵))))
95	94	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
96		breq1 4008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (𝑠 #ℝ 𝑢 ↔ 𝐵 #ℝ 𝑢))
97	96	orbi2d 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
98	95, 97	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
99	98	2rexbidv 2502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
100	91, 99	rspc2ev 2858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
101	84, 100	syl3an3 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
102	101	3expa 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
103	102	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
104	27	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
105	103, 104	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
106	64, 105	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
107	106	ex 115	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷))))
108	60, 107	impbid 129	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  ici 7815   + caddc 7816   · cmul 7818   #_ℝ creap 8533   # cap 8540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541

This theorem is referenced by:  apirr  8564  apsym  8565  apcotr  8566  apadd1  8567  apneg  8570  mulext1  8571  apti  8581  recexaplem2  8611  crap0  8917  iap0  9144  cjap  10917  cnreim  10989  absext  11074