Theorem apreim 8177

Description: Complex apartness in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apreim	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Proof of Theorem apreim

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 497	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7613	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ax-icn 7537	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → i ∈ ℂ)
5		simplr 498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 7613	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 7605	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 7	addcld 7604	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
9		simprl 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 7613	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		simprr 500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 7613	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	4, 12	mulcld 7605	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 7604	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
15		eqeq1 2101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠))))
16	15	anbi1d 454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
17	16	anbi1d 454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
18	17	2rexbidv 2414	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
19	18	2rexbidv 2414	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
20		eqeq1 2101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))))
21	20	anbi2d 453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
22	21	anbi1d 454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
23	22	2rexbidv 2414	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
24	23	2rexbidv 2414	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
25		df-ap 8156	. . . . 5 ⊢ # = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))}
26	19, 24, 25	brabg 4120	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
27	8, 14, 26	syl2anc 404	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
28		simprr 500	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))
29	1	ad3antrrr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	9	ad3antrrr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐶 ∈ ℝ)
31		apreap 8161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
32	29, 30, 31	syl2anc 404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
33	5	ad3antrrr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	11	ad3antrrr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐷 ∈ ℝ)
35		apreap 8161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
36	33, 34, 35	syl2anc 404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
37	32, 36	orbi12d 745	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
38		simprll 505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)))
39		simpllr 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ))
40		cru 8176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠)))
41	29, 33, 39, 40	syl21anc 1180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠)))
42	38, 41	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠))
43	42	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 = 𝑟)
44		simprlr 506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))
45		simplr 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ))
46		cru 8176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢)))
47	30, 34, 45, 46	syl21anc 1180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢)))
48	44, 47	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢))
49	48	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐶 = 𝑡)
50	43, 49	breq12d 3880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 #ℝ 𝐶 ↔ 𝑟 #ℝ 𝑡))
51	42	simprd 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 = 𝑠)
52	48	simprd 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐷 = 𝑢)
53	51, 52	breq12d 3880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐵 #ℝ 𝐷 ↔ 𝑠 #ℝ 𝑢))
54	50, 53	orbi12d 745	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
55	37, 54	bitrd 187	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
56	28, 55	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷))
57	56	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
58	57	rexlimdvva 2510	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
59	58	rexlimdvva 2510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
60	27, 59	sylbid 149	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
61	31	ad2ant2r 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
62	35	ad2ant2l 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
63	61, 62	orbi12d 745	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
64	63	pm5.32i 443	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
65		eqid 2095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵))
66		eqid 2095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))
67	65, 66	pm3.2i 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
68	67	biantrur 298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
69		oveq1 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 + (i · 𝑢)) = (𝐶 + (i · 𝑢)))
70	69	eqeq2d 2106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))))
71	70	anbi2d 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢)))))
72		breq2 3871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝐴 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
73	72	orbi1d 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
74	71, 73	anbi12d 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
75		oveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (i · 𝑢) = (i · 𝐷))
76	75	oveq2d 5706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝐶 + (i · 𝑢)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
77	76	eqeq2d 2106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))))
78	77	anbi2d 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))))
79		breq2 3871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝐵 #ℝ 𝑢 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
80	79	orbi2d 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
81	78, 80	anbi12d 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))))
82	74, 81	rspc2ev 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
83	68, 82	syl3an3b 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
84	83	3expa 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
85		oveq1 5697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝑠)))
86	85	eqeq2d 2106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠))))
87	86	anbi1d 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
88		breq1 3870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝑡))
89	88	orbi1d 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
90	87, 89	anbi12d 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
91	90	2rexbidv 2414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
92		oveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (i · 𝑠) = (i · 𝐵))
93	92	oveq2d 5706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (𝐴 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
94	93	eqeq2d 2106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵))))
95	94	anbi1d 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
96		breq1 3870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (𝑠 #ℝ 𝑢 ↔ 𝐵 #ℝ 𝑢))
97	96	orbi2d 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
98	95, 97	anbi12d 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
99	98	2rexbidv 2414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
100	91, 99	rspc2ev 2750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
101	84, 100	syl3an3 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
102	101	3expa 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
103	102	anassrs 393	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
104	27	adantr 271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
105	103, 104	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
106	64, 105	sylbi 120	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
107	106	ex 114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷))))
108	60, 107	impbid 128	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 667   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∃wrex 2371   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  ℝcr 7446  ici 7449   + caddc 7450   · cmul 7452   #_ℝ creap 8148   # cap 8155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156

This theorem is referenced by:  apirr  8179  apsym  8180  apcotr  8181  apadd1  8182  apneg  8185  mulext1  8186  apti  8196  recexaplem2  8218  crap0  8516  iap0  8737  cjap  10455  absext  10611