Theorem apreim 8783

Description: Complex apartness in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apreim	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Proof of Theorem apreim

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8208	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ax-icn 8127	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → i ∈ ℂ)
5		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 8208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 8200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 7	addcld 8199	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
9		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8208	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	4, 12	mulcld 8200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 8199	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
15		eqeq1 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠))))
16	15	anbi1d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
17	16	anbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
18	17	2rexbidv 2557	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
19	18	2rexbidv 2557	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
20		eqeq1 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))))
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
22	21	anbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
23	22	2rexbidv 2557	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
24	23	2rexbidv 2557	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
25		df-ap 8762	. . . . 5 ⊢ # = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))}
26	19, 24, 25	brabg 4363	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
27	8, 14, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
28		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))
29	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	9	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐶 ∈ ℝ)
31		apreap 8767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
33	5	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐷 ∈ ℝ)
35		apreap 8767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
37	32, 36	orbi12d 800	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
38		simprll 539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)))
39		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ))
40		cru 8782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠)))
41	29, 33, 39, 40	syl21anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠)))
42	38, 41	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠))
43	42	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 = 𝑟)
44		simprlr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))
45		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ))
46		cru 8782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢)))
47	30, 34, 45, 46	syl21anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢)))
48	44, 47	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢))
49	48	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐶 = 𝑡)
50	43, 49	breq12d 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 #ℝ 𝐶 ↔ 𝑟 #ℝ 𝑡))
51	42	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 = 𝑠)
52	48	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐷 = 𝑢)
53	51, 52	breq12d 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐵 #ℝ 𝐷 ↔ 𝑠 #ℝ 𝑢))
54	50, 53	orbi12d 800	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
55	37, 54	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
56	28, 55	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷))
57	56	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
58	57	rexlimdvva 2658	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
59	58	rexlimdvva 2658	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
60	27, 59	sylbid 150	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
61	31	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
62	35	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
63	61, 62	orbi12d 800	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
64	63	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
65		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵))
66		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))
67	65, 66	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
68	67	biantrur 303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
69		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 + (i · 𝑢)) = (𝐶 + (i · 𝑢)))
70	69	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))))
71	70	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢)))))
72		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝐴 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
73	72	orbi1d 798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
74	71, 73	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
75		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (i · 𝑢) = (i · 𝐷))
76	75	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝐶 + (i · 𝑢)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
77	76	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))))
78	77	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))))
79		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝐵 #ℝ 𝑢 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
80	79	orbi2d 797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
81	78, 80	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))))
82	74, 81	rspc2ev 2925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
83	68, 82	syl3an3b 1311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
84	83	3expa 1229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
85		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝑠)))
86	85	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠))))
87	86	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
88		breq1 4091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝑡))
89	88	orbi1d 798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
90	87, 89	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
91	90	2rexbidv 2557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
92		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (i · 𝑠) = (i · 𝐵))
93	92	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (𝐴 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
94	93	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵))))
95	94	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
96		breq1 4091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (𝑠 #ℝ 𝑢 ↔ 𝐵 #ℝ 𝑢))
97	96	orbi2d 797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
98	95, 97	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
99	98	2rexbidv 2557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
100	91, 99	rspc2ev 2925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
101	84, 100	syl3an3 1308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
102	101	3expa 1229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
103	102	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
104	27	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
105	103, 104	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
106	64, 105	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
107	106	ex 115	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷))))
108	60, 107	impbid 129	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  ici 8034   + caddc 8035   · cmul 8037   #_ℝ creap 8754   # cap 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762

This theorem is referenced by:  apirr  8785  apsym  8786  apcotr  8787  apadd1  8788  apneg  8791  mulext1  8792  apti  8802  recexaplem2  8832  crap0  9138  iap0  9367  cjap  11471  cnreim  11543  absext  11628