Theorem apcotr 8722

Description: Apartness is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apcotr	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Proof of Theorem apcotr

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8110	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
2	1	3ad2ant3 1025	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
3		cnre 8110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4	3	3ad2ant2 1024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
6		cnre 8110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
7	6	3ad2ant1 1023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
9	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
11		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
12	10, 11	breq12d 4075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
13		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
15		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
16	15	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ)
17		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
18	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ)
19		apreim 8718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl22anc 1253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
21	12, 20	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
22		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → 𝑢 ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑢 ∈ ℝ)
24	23	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ)
25		reapcotr 8713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑧 → (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢)))
26	13, 16, 24, 25	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 # 𝑧 → (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢)))
27		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → 𝑣 ∈ ℝ)
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑣 ∈ ℝ)
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ)
30		reapcotr 8713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑤 → (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
31	14, 18, 29, 30	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑦 # 𝑤 → (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
32	26, 31	orim12d 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤) → ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢) ∨ (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣))))
33	21, 32	sylbid 150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢) ∨ (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣))))
34		or4 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢) ∨ (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣)) ↔ ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣) ∨ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
35	33, 34	imbitrdi 161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣) ∨ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣))))
36		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
38	10, 37	breq12d 4075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑢 + (i · 𝑣))))
39		apreim 8718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑢 + (i · 𝑣)) ↔ (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣)))
40	13, 14, 24, 29, 39	syl22anc 1253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑢 + (i · 𝑣)) ↔ (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣)))
41	38, 40	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣)))
42	11, 37	breq12d 4075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑢 + (i · 𝑣))))
43		apreim 8718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑢 + (i · 𝑣)) ↔ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
44	16, 18, 24, 29, 43	syl22anc 1253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑢 + (i · 𝑣)) ↔ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
45	42, 44	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
46	41, 45	orbi12d 797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶) ↔ ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣) ∨ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣))))
47	35, 46	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))
48	47	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
49	48	rexlimdvva 2636	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
50	9, 49	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))
51	50	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
52	51	rexlimdvva 2636	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
53	5, 52	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))
54	53	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
55	54	rexlimdvva 2636	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
56	2, 55	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 712   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  ℝcr 7966  ici 7969   + caddc 7970   · cmul 7972   # cap 8696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697

This theorem is referenced by:  addext  8725  mulext  8729  aptap  8765  mul0eqap  8785