ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apcotr GIF version

Theorem apcotr 8563
Description: Apartness is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apcotr ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ)))

Proof of Theorem apcotr
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7952 . . 3 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)))
213ad2ant3 1020 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)))
3 cnre 7952 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
433ad2ant2 1019 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
54ad2antrr 488 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
6 cnre 7952 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
763ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
87adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
98ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
10 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
11 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
1210, 11breq12d 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))))
13 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
14 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
15 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
1615ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
17 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
1817ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
19 apreim 8559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
2013, 14, 16, 18, 19syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
2112, 20bitrd 188 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
22 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„)
2322ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„)
2423ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„)
25 reapcotr 8554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ # ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ง # ๐‘ข)))
2613, 16, 24, 25syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฅ # ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ง # ๐‘ข)))
27 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„)
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„)
2928ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„)
30 reapcotr 8554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ # ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ # ๐‘ฃ โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ)))
3114, 18, 29, 30syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ # ๐‘ค โ†’ (๐‘ฆ # ๐‘ฃ โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ)))
3226, 31orim12d 786 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ง # ๐‘ข) โˆจ (๐‘ฆ # ๐‘ฃ โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ))))
3321, 32sylbid 150 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ง # ๐‘ข) โˆจ (๐‘ฆ # ๐‘ฃ โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ))))
34 or4 771 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ง # ๐‘ข) โˆจ (๐‘ฆ # ๐‘ฃ โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ)) โ†” ((๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ฃ) โˆจ (๐‘ง # ๐‘ข โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ)))
3533, 34imbitrdi 161 . . . . . . . . . . 11 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ฃ) โˆจ (๐‘ง # ๐‘ข โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ))))
36 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)))
3736ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)))
3810, 37breq12d 4016 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด # ๐ถ โ†” (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))))
39 apreim 8559 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ฃ)))
4013, 14, 24, 29, 39syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ฃ)))
4138, 40bitrd 188 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด # ๐ถ โ†” (๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ฃ)))
4211, 37breq12d 4016 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต # ๐ถ โ†” (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) # (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))))
43 apreim 8559 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) # (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ง # ๐‘ข โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ)))
4416, 18, 24, 29, 43syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) # (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ง # ๐‘ข โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ)))
4542, 44bitrd 188 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต # ๐ถ โ†” (๐‘ง # ๐‘ข โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ)))
4641, 45orbi12d 793 . . . . . . . . . . 11 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ) โ†” ((๐‘ฅ # ๐‘ข โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ฃ) โˆจ (๐‘ง # ๐‘ข โˆจ ๐‘ค # ๐‘ฃ))))
4735, 46sylibrd 169 . . . . . . . . . 10 ((((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ)))
4847ex 115 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ))))
4948rexlimdvva 2602 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ))))
509, 49mpd 13 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ)))
5150ex 115 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ))))
5251rexlimdvva 2602 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ))))
535, 52mpd 13 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ)))
5453ex 115 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ))))
5554rexlimdvva 2602 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ ๐ถ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ))))
562, 55mpd 13 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  ici 7812   + caddc 7813   ยท cmul 7815   # cap 8537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538
This theorem is referenced by:  addext  8566  mulext  8570  aptap  8606  mul0eqap  8626
  Copyright terms: Public domain W3C validator