Theorem apcotr 8362

Description: Apartness is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apcotr	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Proof of Theorem apcotr

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7755	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
2	1	3ad2ant3 1004	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
3		cnre 7755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4	3	3ad2ant2 1003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5	4	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
6		cnre 7755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
7	6	3ad2ant1 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8	7	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
9	8	ad3antrrr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
10		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
11		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
12	10, 11	breq12d 3937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
13		simplrl 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		simplrr 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
15		simprl 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
16	15	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ)
17		simprr 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
18	17	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ)
19		apreim 8358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl22anc 1217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
21	12, 20	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
22		simprl 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → 𝑢 ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑢 ∈ ℝ)
24	23	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ)
25		reapcotr 8353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑧 → (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢)))
26	13, 16, 24, 25	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 # 𝑧 → (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢)))
27		simprr 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → 𝑣 ∈ ℝ)
28	27	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑣 ∈ ℝ)
29	28	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ)
30		reapcotr 8353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑤 → (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
31	14, 18, 29, 30	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑦 # 𝑤 → (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
32	26, 31	orim12d 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤) → ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢) ∨ (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣))))
33	21, 32	sylbid 149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢) ∨ (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣))))
34		or4 760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑧 # 𝑢) ∨ (𝑦 # 𝑣 ∨ 𝑤 # 𝑣)) ↔ ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣) ∨ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
35	33, 34	syl6ib 160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 → ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣) ∨ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣))))
36		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
37	36	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
38	10, 37	breq12d 3937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑢 + (i · 𝑣))))
39		apreim 8358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑢 + (i · 𝑣)) ↔ (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣)))
40	13, 14, 24, 29, 39	syl22anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑢 + (i · 𝑣)) ↔ (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣)))
41	38, 40	bitrd 187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣)))
42	11, 37	breq12d 3937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑢 + (i · 𝑣))))
43		apreim 8358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑢 + (i · 𝑣)) ↔ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
44	16, 18, 24, 29, 43	syl22anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑢 + (i · 𝑣)) ↔ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
45	42, 44	bitrd 187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐵 # 𝐶 ↔ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣)))
46	41, 45	orbi12d 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶) ↔ ((𝑥 # 𝑢 ∨ 𝑦 # 𝑣) ∨ (𝑧 # 𝑢 ∨ 𝑤 # 𝑣))))
47	35, 46	sylibrd 168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))
48	47	ex 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
49	48	rexlimdvva 2555	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
50	9, 49	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))
51	50	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
52	51	rexlimdvva 2555	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
53	5, 52	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))
54	53	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
55	54	rexlimdvva 2555	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶))))
56	2, 55	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2415   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  ici 7615   + caddc 7616   · cmul 7618   # cap 8336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337

This theorem is referenced by:  addext  8365  mulext  8369  mul0eqap  8424