Theorem apreap 8915

Description: Complex apartness and real apartness agree on the real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apreap	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐵))

Proof of Theorem apreap

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ 𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠))))
2	1	anbi1d 469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
3	2	anbi1d 469	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
4	3	2rexbidv 2575	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
5	4	2rexbidv 2575	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
6		eqeq1 2245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))))
7	6	anbi2d 468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
8	7	anbi1d 469	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
9	8	2rexbidv 2575	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
10	9	2rexbidv 2575	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
11		df-ap 8910	. . . 4 ⊢ # = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))}
12	5, 10, 11	brabg 4411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
13		simplll 539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → 𝑟 ∈ ℝ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑟 ∈ ℝ)
17		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → 𝑠 ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑠 ∈ ℝ)
19		simprll 543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)))
20		rereim 8914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)))) → (𝑟 = 𝐴 ∧ 𝑠 = 0))
21	14, 16, 18, 19, 20	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 = 𝐴 ∧ 𝑠 = 0))
22	21	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑠 = 0)
23		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		simplrl 541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑡 ∈ ℝ)
26		simplrr 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑢 ∈ ℝ)
27		simprlr 544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))
28		rereim 8914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))) → (𝑡 = 𝐵 ∧ 𝑢 = 0))
29	24, 25, 26, 27, 28	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑡 = 𝐵 ∧ 𝑢 = 0))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑢 = 0)
31	22, 30	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑠 = 𝑢)
32		reapti 8907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑠 = 𝑢 ↔ ¬ 𝑠 #ℝ 𝑢))
33	18, 26, 32	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑠 = 𝑢 ↔ ¬ 𝑠 #ℝ 𝑢))
34	31, 33	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ¬ 𝑠 #ℝ 𝑢)
35		simprr 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))
36	34, 35	ecased 1390	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑟 #ℝ 𝑡)
37	21	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑟 = 𝐴)
38	29	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝑡 = 𝐵)
39	36, 37, 38	3brtr3d 4161	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 #ℝ 𝐵)
40	39	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → (((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → 𝐴 #ℝ 𝐵))
41	40	rexlimdvva 2676	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → 𝐴 #ℝ 𝐵))
42	41	rexlimdvva 2676	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → 𝐴 #ℝ 𝐵))
43	12, 42	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → 𝐴 #ℝ 𝐵))
44		ax-icn 8274	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
45	44	mul01i 8718	. . . . . . 7 ⊢ (i · 0) = 0
46	45	oveq2i 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + (i · 0)) = (𝐴 + 0)
47		simp1 1028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
48	47	recnd 8354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
49	48	addridd 8475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
50	46, 49	eqtr2id 2284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 + (i · 0)))
51	45	oveq2i 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 + (i · 0)) = (𝐵 + 0)
52		simp2 1029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
53	52	recnd 8354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
54	53	addridd 8475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
55	51, 54	eqtr2id 2284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → 𝐵 = (𝐵 + (i · 0)))
56		olc 723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 #ℝ 𝐵 → (0 #ℝ 0 ∨ 𝐴 #ℝ 𝐵))
57	56	3ad2ant3 1051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (0 #ℝ 0 ∨ 𝐴 #ℝ 𝐵))
58	57	orcomd 741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 0))
59	50, 55, 58	jca31 309	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 0)))
60		0red 8327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → 𝑢 = 0)
62	61	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (i · 𝑢) = (i · 0))
63	62	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (𝐵 + (i · 𝑢)) = (𝐵 + (i · 0)))
64	63	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))))
65	64	anbi2d 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0)))))
66	61	breq2d 4142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (0 #ℝ 𝑢 ↔ 0 #ℝ 0))
67	66	orbi2d 802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → ((𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 0)))
68	65, 67	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 0))))
69	60, 68	rspcedv 2933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 0)) → ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 𝑢))))
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
71	70	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝑡 + (i · 𝑢)) = (𝐵 + (i · 𝑢)))
72	71	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))))
73	72	anbi2d 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢)))))
74	70	breq2d 4142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝐴 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐵))
75	74	orbi1d 803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 0 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 𝑢)))
76	73, 75	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 0 #ℝ 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 𝑢))))
77	76	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 0 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 𝑢))))
78	52, 77	rspcedv 2933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 0 #ℝ 𝑢))))
79	69, 78	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 0)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 0 #ℝ 𝑢))))
80		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 = 0)
81	80	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (i · 𝑠) = (i · 0))
82	81	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (𝐴 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 0)))
83	82	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ↔ 𝐴 = (𝐴 + (i · 0))))
84	83	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
85	80	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (𝑠 #ℝ 𝑢 ↔ 0 #ℝ 𝑢))
86	85	orbi2d 802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 0 #ℝ 𝑢)))
87	84, 86	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 0 #ℝ 𝑢))))
88	87	2rexbidv 2575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 0 #ℝ 𝑢))))
89	60, 88	rspcedv 2933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 0 #ℝ 𝑢)) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
90		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
91	90	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝑠)))
92	91	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ 𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠))))
93	92	anbi1d 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
94	90	breq1d 4140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (𝑟 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝑡))
95	94	orbi1d 803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → ((𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
96	93, 95	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
97	96	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
98	97	2rexbidv 2575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
99	47, 98	rspcedv 2933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
100	79, 89, 99	3syld 57	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 0)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
101	12	3adant3 1048	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (𝐴 # 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
102	100, 101	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐵 ∨ 0 #ℝ 0)) → 𝐴 # 𝐵))
103	59, 102	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
104	103	3expia 1236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 𝐵 → 𝐴 # 𝐵))
105	43, 104	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℝcr 8178  0cc0 8179  ici 8181   + caddc 8182   · cmul 8184   #_ℝ creap 8902   # cap 8909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910

This theorem is used by:  reaplt  8916  apreim  8931  apirr  8933  apti  8950  recexap  8981  rerecclap  9060