HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 86 of 149)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 8501-8600   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremltaddsubd 8501 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
 
Theoremltaddsub2d 8502 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ต < (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremleaddsub2d 8503 'Less than or equal to' relationship between and addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ต โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremsubled 8504 Swap subtrahends in an inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰ค ๐ต)
 
Theoremlesubd 8505 Swap subtrahends in an inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ด))
 
Theoremltsub23d 8506 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) < ๐ต)
 
Theoremltsub13d 8507 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐ต โˆ’ ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < (๐ต โˆ’ ๐ด))
 
Theoremlesub1d 8508 Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremlesub2d 8509 Subtraction of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremltsub1d 8510 Subtraction from both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) < (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremltsub2d 8511 Subtraction of both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) < (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremltadd1dd 8512 Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ถ) < (๐ต + ๐ถ))
 
Theoremltsub1dd 8513 Subtraction from both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) < (๐ต โˆ’ ๐ถ))
 
Theoremltsub2dd 8514 Subtraction of both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) < (๐ถ โˆ’ ๐ด))
 
Theoremleadd1dd 8515 Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ถ) โ‰ค (๐ต + ๐ถ))
 
Theoremleadd2dd 8516 Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ด) โ‰ค (๐ถ + ๐ต))
 
Theoremlesub1dd 8517 Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ))
 
Theoremlesub2dd 8518 Subtraction of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ด))
 
Theoremle2addd 8519 Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰ค (๐ถ + ๐ท))
 
Theoremle2subd 8520 Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ต))
 
Theoremltleaddd 8521 Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท))
 
Theoremleltaddd 8522 Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท))
 
Theoremlt2addd 8523 Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท))
 
Theoremlt2subd 8524 Subtracting both sides of two 'less than' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) < (๐ถ โˆ’ ๐ต))
 
Theorempossumd 8525 Condition for a positive sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 < (๐ด + ๐ต) โ†” -๐ต < ๐ด))
 
Theoremsublt0d 8526 When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) < 0 โ†” ๐ด < ๐ต))
 
Theoremltaddsublt 8527 Addition and subtraction on one side of 'less than'. (Contributed by AV, 24-Nov-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ถ โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆ’ ๐ถ) < ๐ด))
 
Theorem1le1 8528 1 โ‰ค 1. Common special case. (Contributed by David A. Wheeler, 16-Jul-2016.)
1 โ‰ค 1
 
Theoremgt0add 8529 A positive sum must have a positive addend. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 < ๐ต))
 
4.3.5  Real Apartness
 
Syntaxcreap 8530 Class of real apartness relation.
class #โ„
 
Definitiondf-reap 8531* Define real apartness. Definition in Section 11.2.1 of [HoTT], p. (varies). Although #โ„ is an apartness relation on the reals (see df-ap 8538 for more discussion of apartness relations), for our purposes it is just a stepping stone to defining # which is an apartness relation on complex numbers. On the reals, #โ„ and # agree (apreap 8543). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)
#โ„ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))}
 
Theoremreapval 8532 Real apartness in terms of classes. Beyond the development of # itself, proofs should use reaplt 8544 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด #โ„ ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
 
Theoremreapirr 8533 Real apartness is irreflexive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). Beyond the development of # itself, proofs should use apirr 8561 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ยฌ ๐ด #โ„ ๐ด)
 
Theoremrecexre 8534* Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด #โ„ 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
 
Theoremreapti 8535 Real apartness is tight. Beyond the development of apartness itself, proofs should use apti 8578. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด #โ„ ๐ต))
 
Theoremrecexgt0 8536* Existence of reciprocal of positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
 
4.3.6  Complex Apartness
 
Syntaxcap 8537 Class of complex apartness relation.
class #
 
Definitiondf-ap 8538* Define complex apartness. Definition 6.1 of [Geuvers], p. 17.

Two numbers are considered apart if it is possible to separate them. One common usage is that we can divide by a number if it is apart from zero (see for example recclap 8635 which says that a number apart from zero has a reciprocal).

The defining characteristics of an apartness are irreflexivity (apirr 8561), symmetry (apsym 8562), and cotransitivity (apcotr 8563). Apartness implies negated equality, as seen at apne 8579, and the converse would also follow if we assumed excluded middle.

In addition, apartness of complex numbers is tight, which means that two numbers which are not apart are equal (apti 8578).

(Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

# = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ ((๐‘ฅ = (๐‘Ÿ + (i ยท ๐‘ )) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘ก + (i ยท ๐‘ข))) โˆง (๐‘Ÿ #โ„ ๐‘ก โˆจ ๐‘  #โ„ ๐‘ข))}
 
Theoremixi 8539 i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(i ยท i) = -1
 
Theoreminelr 8540 The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
ยฌ i โˆˆ โ„
 
Theoremrimul 8541 A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด = 0)
 
Theoremrereim 8542 Decomposition of a real number into real part (itself) and imaginary part (zero). (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด = (๐ต + (i ยท ๐ถ)))) โ†’ (๐ต = ๐ด โˆง ๐ถ = 0))
 
Theoremapreap 8543 Complex apartness and real apartness agree on the real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” ๐ด #โ„ ๐ต))
 
Theoremreaplt 8544 Real apartness in terms of less than. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
 
Theoremreapltxor 8545 Real apartness in terms of less than (exclusive-or version). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Mar-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โŠป ๐ต < ๐ด)))
 
Theorem1ap0 8546 One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
1 # 0
 
Theoremltmul1a 8547 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremltmul1 8548 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremlemul1 8549 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremreapmul1lem 8550 Lemma for reapmul1 8551. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremreapmul1 8551 Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 8744. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremreapadd1 8552 Real addition respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremreapneg 8553 Real negation respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต))
 
Theoremreapcotr 8554 Real apartness is cotransitive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ)))
 
Theoremremulext1 8555 Left extensionality for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด # ๐ต))
 
Theoremremulext2 8556 Right extensionality for real multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) # (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ ๐ด # ๐ต))
 
Theoremapsqgt0 8557 The square of a real number apart from zero is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด # 0) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ด))
 
Theoremcru 8558 The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
 
Theoremapreim 8559 Complex apartness in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) # (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ท)))
 
Theoremmulreim 8560 Complex multiplication in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + -(๐ต ยท ๐ท)) + (i ยท ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ด)))))
 
Theoremapirr 8561 Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ยฌ ๐ด # ๐ด)
 
Theoremapsym 8562 Apartness is symmetric. This theorem for real numbers is part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” ๐ต # ๐ด))
 
Theoremapcotr 8563 Apartness is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ถ)))
 
Theoremapadd1 8564 Addition respects apartness. Analogue of addcan 8136 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremapadd2 8565 Addition respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ถ + ๐ด) # (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremaddext 8566 Strong extensionality for addition. Given excluded middle, apartness would be equivalent to negated equality and this would follow readily (for all operations) from oveq12 5883. For us, it is proved a different way. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) # (๐ถ + ๐ท) โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ท)))
 
Theoremapneg 8567 Negation respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต))
 
Theoremmulext1 8568 Left extensionality for complex multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด # ๐ต))
 
Theoremmulext2 8569 Right extensionality for complex multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) # (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ ๐ด # ๐ต))
 
Theoremmulext 8570 Strong extensionality for multiplication. Given excluded middle, apartness would be equivalent to negated equality and this would follow readily (for all operations) from oveq12 5883. For us, it is proved a different way. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) # (๐ถ ยท ๐ท) โ†’ (๐ด # ๐ถ โˆจ ๐ต # ๐ท)))
 
Theoremmulap0r 8571 A product apart from zero. Lemma 2.13 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0))
 
Theoremmsqge0 8572 A square is nonnegative. Lemma 2.35 of [Geuvers], p. 9. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))
 
Theoremmsqge0i 8573 A square is nonnegative. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
๐ด โˆˆ โ„    โ‡’   0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)
 
Theoremmsqge0d 8574 A square is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))
 
Theoremmulge0 8575 The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmulge0i 8576 The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremmulge0d 8577 The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremapti 8578 Complex apartness is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด # ๐ต))
 
Theoremapne 8579 Apartness implies negated equality. We cannot in general prove the converse (as shown at neapmkv 14785), which is the whole point of having separate notations for apartness and negated equality. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต))
 
Theoremapcon4bid 8580 Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” ๐ถ # ๐ท))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ๐ถ = ๐ท))
 
Theoremleltap 8581 โ‰ค implies 'less than' is 'apart'. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ๐ต # ๐ด))
 
Theoremgt0ap0 8582 Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด # 0)
 
Theoremgt0ap0i 8583 Positive means apart from zero (useful for ordering theorems involving division). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ด โ†’ ๐ด # 0)
 
Theoremgt0ap0ii 8584 Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„    &   0 < ๐ด    โ‡’   ๐ด # 0
 
Theoremgt0ap0d 8585 Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, ๐ด must be an element of โ„, not just โ„*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)
 
Theoremnegap0 8586 A number is apart from zero iff its negative is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด # 0 โ†” -๐ด # 0))
 
Theoremnegap0d 8587 The negative of a number apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -๐ด # 0)
 
Theoremltleap 8588 Less than in terms of non-strict order and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ด # ๐ต)))
 
Theoremltap 8589 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต # ๐ด)
 
Theoremgtapii 8590 'Greater than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ด < ๐ต    โ‡’   ๐ต # ๐ด
 
Theoremltapii 8591 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ด < ๐ต    โ‡’   ๐ด # ๐ต
 
Theoremltapi 8592 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†’ ๐ต # ๐ด)
 
Theoremgtapd 8593 'Greater than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # ๐ด)
 
Theoremltapd 8594 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐ต)
 
Theoremleltapd 8595 โ‰ค implies 'less than' is 'apart'. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ๐ต # ๐ด))
 
Theoremap0gt0 8596 A nonnegative number is apart from zero if and only if it is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด # 0 โ†” 0 < ๐ด))
 
Theoremap0gt0d 8597 A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
 
Theoremapsub1 8598 Subtraction respects apartness. Analogue of subcan2 8181 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) # (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremsubap0 8599 Two numbers being apart is equivalent to their difference being apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) # 0 โ†” ๐ด # ๐ต))
 
Theoremsubap0d 8600 Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) # 0)
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14801
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >