![]() |
Intuitionistic Logic Explorer Theorem List (p. 86 of 149) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > ILE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | lesubadd2d 8501 | 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) โค ๐ถ โ ๐ด โค (๐ต + ๐ถ))) | ||
Theorem | ltaddsubd 8502 | 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ ๐ด < (๐ถ โ ๐ต))) | ||
Theorem | ltaddsub2d 8503 | 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ ๐ต < (๐ถ โ ๐ด))) | ||
Theorem | leaddsub2d 8504 | 'Less than or equal to' relationship between and addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) โค ๐ถ โ ๐ต โค (๐ถ โ ๐ด))) | ||
Theorem | subled 8505 | Swap subtrahends in an inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โค ๐ถ) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ถ) โค ๐ต) | ||
Theorem | lesubd 8506 | Swap subtrahends in an inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค (๐ต โ ๐ถ)) โ โข (๐ โ ๐ถ โค (๐ต โ ๐ด)) | ||
Theorem | ltsub23d 8507 | 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) < ๐ถ) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ถ) < ๐ต) | ||
Theorem | ltsub13d 8508 | 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < (๐ต โ ๐ถ)) โ โข (๐ โ ๐ถ < (๐ต โ ๐ด)) | ||
Theorem | lesub1d 8509 | Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด โ ๐ถ) โค (๐ต โ ๐ถ))) | ||
Theorem | lesub2d 8510 | Subtraction of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ถ โ ๐ต) โค (๐ถ โ ๐ด))) | ||
Theorem | ltsub1d 8511 | Subtraction from both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด โ ๐ถ) < (๐ต โ ๐ถ))) | ||
Theorem | ltsub2d 8512 | Subtraction of both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ถ โ ๐ต) < (๐ถ โ ๐ด))) | ||
Theorem | ltadd1dd 8513 | Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ถ) < (๐ต + ๐ถ)) | ||
Theorem | ltsub1dd 8514 | Subtraction from both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ถ) < (๐ต โ ๐ถ)) | ||
Theorem | ltsub2dd 8515 | Subtraction of both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ถ โ ๐ต) < (๐ถ โ ๐ด)) | ||
Theorem | leadd1dd 8516 | Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ถ) โค (๐ต + ๐ถ)) | ||
Theorem | leadd2dd 8517 | Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ถ + ๐ด) โค (๐ถ + ๐ต)) | ||
Theorem | lesub1dd 8518 | Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ถ) โค (๐ต โ ๐ถ)) | ||
Theorem | lesub2dd 8519 | Subtraction of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ถ โ ๐ต) โค (๐ถ โ ๐ด)) | ||
Theorem | le2addd 8520 | Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ต โค ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โค (๐ถ + ๐ท)) | ||
Theorem | le2subd 8521 | Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ต โค ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ท) โค (๐ถ โ ๐ต)) | ||
Theorem | ltleaddd 8522 | Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ต โค ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)) | ||
Theorem | leltaddd 8523 | Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ต < ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)) | ||
Theorem | lt2addd 8524 | Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ต < ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)) | ||
Theorem | lt2subd 8525 | Subtracting both sides of two 'less than' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ต < ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ท) < (๐ถ โ ๐ต)) | ||
Theorem | possumd 8526 | Condition for a positive sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (0 < (๐ด + ๐ต) โ -๐ต < ๐ด)) | ||
Theorem | sublt0d 8527 | When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) < 0 โ ๐ด < ๐ต)) | ||
Theorem | ltaddsublt 8528 | Addition and subtraction on one side of 'less than'. (Contributed by AV, 24-Nov-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต < ๐ถ โ ((๐ด + ๐ต) โ ๐ถ) < ๐ด)) | ||
Theorem | 1le1 8529 | 1 โค 1. Common special case. (Contributed by David A. Wheeler, 16-Jul-2016.) |
โข 1 โค 1 | ||
Theorem | gt0add 8530 | A positive sum must have a positive addend. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ (0 < ๐ด โจ 0 < ๐ต)) | ||
Syntax | creap 8531 | Class of real apartness relation. |
class #โ | ||
Definition | df-reap 8532* | Define real apartness. Definition in Section 11.2.1 of [HoTT], p. (varies). Although #โ is an apartness relation on the reals (see df-ap 8539 for more discussion of apartness relations), for our purposes it is just a stepping stone to defining # which is an apartness relation on complex numbers. On the reals, #โ and # agree (apreap 8544). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.) |
โข #โ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง (๐ฅ < ๐ฆ โจ ๐ฆ < ๐ฅ))} | ||
Theorem | reapval 8533 | Real apartness in terms of classes. Beyond the development of # itself, proofs should use reaplt 8545 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด #โ ๐ต โ (๐ด < ๐ต โจ ๐ต < ๐ด))) | ||
Theorem | reapirr 8534 | Real apartness is irreflexive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). Beyond the development of # itself, proofs should use apirr 8562 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.) |
โข (๐ด โ โ โ ยฌ ๐ด #โ ๐ด) | ||
Theorem | recexre 8535* | Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด #โ 0) โ โ๐ฅ โ โ (๐ด ยท ๐ฅ) = 1) | ||
Theorem | reapti 8536 | Real apartness is tight. Beyond the development of apartness itself, proofs should use apti 8579. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.) (New usage is discouraged.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด = ๐ต โ ยฌ ๐ด #โ ๐ต)) | ||
Theorem | recexgt0 8537* | Existence of reciprocal of positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ โ๐ฅ โ โ (0 < ๐ฅ โง (๐ด ยท ๐ฅ) = 1)) | ||
Syntax | cap 8538 | Class of complex apartness relation. |
class # | ||
Definition | df-ap 8539* |
Define complex apartness. Definition 6.1 of [Geuvers], p. 17.
Two numbers are considered apart if it is possible to separate them. One common usage is that we can divide by a number if it is apart from zero (see for example recclap 8636 which says that a number apart from zero has a reciprocal). The defining characteristics of an apartness are irreflexivity (apirr 8562), symmetry (apsym 8563), and cotransitivity (apcotr 8564). Apartness implies negated equality, as seen at apne 8580, and the converse would also follow if we assumed excluded middle. In addition, apartness of complex numbers is tight, which means that two numbers which are not apart are equal (apti 8579). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.) |
โข # = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ โ๐ โ โ โ๐ โ โ โ๐ก โ โ โ๐ข โ โ ((๐ฅ = (๐ + (i ยท ๐ )) โง ๐ฆ = (๐ก + (i ยท ๐ข))) โง (๐ #โ ๐ก โจ ๐ #โ ๐ข))} | ||
Theorem | ixi 8540 | i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.) |
โข (i ยท i) = -1 | ||
Theorem | inelr 8541 | The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.) |
โข ยฌ i โ โ | ||
Theorem | rimul 8542 | A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง (i ยท ๐ด) โ โ) โ ๐ด = 0) | ||
Theorem | rereim 8543 | Decomposition of a real number into real part (itself) and imaginary part (zero). (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ด = (๐ต + (i ยท ๐ถ)))) โ (๐ต = ๐ด โง ๐ถ = 0)) | ||
Theorem | apreap 8544 | Complex apartness and real apartness agree on the real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ ๐ด #โ ๐ต)) | ||
Theorem | reaplt 8545 | Real apartness in terms of less than. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด < ๐ต โจ ๐ต < ๐ด))) | ||
Theorem | reapltxor 8546 | Real apartness in terms of less than (exclusive-or version). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Mar-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด < ๐ต โป ๐ต < ๐ด))) | ||
Theorem | 1ap0 8547 | One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.) |
โข 1 # 0 | ||
Theorem | ltmul1a 8548 | Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โง ๐ด < ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) | ||
Theorem | ltmul1 8549 | Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | lemul1 8550 | Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | reapmul1lem 8551 | Lemma for reapmul1 8552. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | reapmul1 8552 | Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 8745. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | reapadd1 8553 | Real addition respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ))) | ||
Theorem | reapneg 8554 | Real negation respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ -๐ด # -๐ต)) | ||
Theorem | reapcotr 8555 | Real apartness is cotransitive. Part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด # ๐ถ โจ ๐ต # ๐ถ))) | ||
Theorem | remulext1 8556 | Left extensionality for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด # ๐ต)) | ||
Theorem | remulext2 8557 | Right extensionality for real multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ถ ยท ๐ด) # (๐ถ ยท ๐ต) โ ๐ด # ๐ต)) | ||
Theorem | apsqgt0 8558 | The square of a real number apart from zero is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ 0 < (๐ด ยท ๐ด)) | ||
Theorem | cru 8559 | The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ)) โ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) | ||
Theorem | apreim 8560 | Complex apartness in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2020.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ)) โ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) # (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ (๐ด # ๐ถ โจ ๐ต # ๐ท))) | ||
Theorem | mulreim 8561 | Complex multiplication in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ)) โ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + -(๐ต ยท ๐ท)) + (i ยท ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ด))))) | ||
Theorem | apirr 8562 | Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.) |
โข (๐ด โ โ โ ยฌ ๐ด # ๐ด) | ||
Theorem | apsym 8563 | Apartness is symmetric. This theorem for real numbers is part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ ๐ต # ๐ด)) | ||
Theorem | apcotr 8564 | Apartness is cotransitive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด # ๐ถ โจ ๐ต # ๐ถ))) | ||
Theorem | apadd1 8565 | Addition respects apartness. Analogue of addcan 8137 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ))) | ||
Theorem | apadd2 8566 | Addition respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ถ + ๐ด) # (๐ถ + ๐ต))) | ||
Theorem | addext 8567 | Strong extensionality for addition. Given excluded middle, apartness would be equivalent to negated equality and this would follow readily (for all operations) from oveq12 5884. For us, it is proved a different way. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2020.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ)) โ ((๐ด + ๐ต) # (๐ถ + ๐ท) โ (๐ด # ๐ถ โจ ๐ต # ๐ท))) | ||
Theorem | apneg 8568 | Negation respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ -๐ด # -๐ต)) | ||
Theorem | mulext1 8569 | Left extensionality for complex multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด # ๐ต)) | ||
Theorem | mulext2 8570 | Right extensionality for complex multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ถ ยท ๐ด) # (๐ถ ยท ๐ต) โ ๐ด # ๐ต)) | ||
Theorem | mulext 8571 | Strong extensionality for multiplication. Given excluded middle, apartness would be equivalent to negated equality and this would follow readily (for all operations) from oveq12 5884. For us, it is proved a different way. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ)) โ ((๐ด ยท ๐ต) # (๐ถ ยท ๐ท) โ (๐ด # ๐ถ โจ ๐ต # ๐ท))) | ||
Theorem | mulap0r 8572 | A product apart from zero. Lemma 2.13 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ (๐ด # 0 โง ๐ต # 0)) | ||
Theorem | msqge0 8573 | A square is nonnegative. Lemma 2.35 of [Geuvers], p. 9. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ด โ โ โ 0 โค (๐ด ยท ๐ด)) | ||
Theorem | msqge0i 8574 | A square is nonnegative. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.) |
โข ๐ด โ โ โ โข 0 โค (๐ด ยท ๐ด) | ||
Theorem | msqge0d 8575 | A square is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ 0 โค (๐ด ยท ๐ด)) | ||
Theorem | mulge0 8576 | The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ 0 โค (๐ด ยท ๐ต)) | ||
Theorem | mulge0i 8577 | The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ โ โข ((0 โค ๐ด โง 0 โค ๐ต) โ 0 โค (๐ด ยท ๐ต)) | ||
Theorem | mulge0d 8578 | The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ด) & โข (๐ โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ 0 โค (๐ด ยท ๐ต)) | ||
Theorem | apti 8579 | Complex apartness is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด = ๐ต โ ยฌ ๐ด # ๐ต)) | ||
Theorem | apne 8580 | Apartness implies negated equality. We cannot in general prove the converse (as shown at neapmkv 14818), which is the whole point of having separate notations for apartness and negated equality. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ ๐ด โ ๐ต)) | ||
Theorem | apcon4bid 8581 | Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ (๐ด # ๐ต โ ๐ถ # ๐ท)) โ โข (๐ โ (๐ด = ๐ต โ ๐ถ = ๐ท)) | ||
Theorem | leltap 8582 | โค implies 'less than' is 'apart'. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ด < ๐ต โ ๐ต # ๐ด)) | ||
Theorem | gt0ap0 8583 | Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ ๐ด # 0) | ||
Theorem | gt0ap0i 8584 | Positive means apart from zero (useful for ordering theorems involving division). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.) |
โข ๐ด โ โ โ โข (0 < ๐ด โ ๐ด # 0) | ||
Theorem | gt0ap0ii 8585 | Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.) |
โข ๐ด โ โ & โข 0 < ๐ด โ โข ๐ด # 0 | ||
Theorem | gt0ap0d 8586 | Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, ๐ด must be an element of โ, not just โ*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ 0 < ๐ด) โ โข (๐ โ ๐ด # 0) | ||
Theorem | negap0 8587 | A number is apart from zero iff its negative is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด # 0 โ -๐ด # 0)) | ||
Theorem | negap0d 8588 | The negative of a number apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ -๐ด # 0) | ||
Theorem | ltleap 8589 | Less than in terms of non-strict order and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด โค ๐ต โง ๐ด # ๐ต))) | ||
Theorem | ltap 8590 | 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด < ๐ต) โ ๐ต # ๐ด) | ||
Theorem | gtapii 8591 | 'Greater than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ด < ๐ต โ โข ๐ต # ๐ด | ||
Theorem | ltapii 8592 | 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ด < ๐ต โ โข ๐ด # ๐ต | ||
Theorem | ltapi 8593 | 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ โ โข (๐ด < ๐ต โ ๐ต # ๐ด) | ||
Theorem | gtapd 8594 | 'Greater than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) โ โข (๐ โ ๐ต # ๐ด) | ||
Theorem | ltapd 8595 | 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) โ โข (๐ โ ๐ด # ๐ต) | ||
Theorem | leltapd 8596 | โค implies 'less than' is 'apart'. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด < ๐ต โ ๐ต # ๐ด)) | ||
Theorem | ap0gt0 8597 | A nonnegative number is apart from zero if and only if it is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (๐ด # 0 โ 0 < ๐ด)) | ||
Theorem | ap0gt0d 8598 | A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ด) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ 0 < ๐ด) | ||
Theorem | apsub1 8599 | Subtraction respects apartness. Analogue of subcan2 8182 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด โ ๐ถ) # (๐ต โ ๐ถ))) | ||
Theorem | subap0 8600 | Two numbers being apart is equivalent to their difference being apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด โ ๐ต) # 0 โ ๐ด # ๐ต)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |