Theorem apti 8575

Description: Complex apartness is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apti	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem apti

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7950	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
3		cnre 7950	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
6		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
7	6	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
8		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
9		cru 8555	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
11		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
12		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
13	11, 12	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤))))
14		apreim 8556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
15	14	notbid 667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ ¬ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
16		ioran 752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑧 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑤))
17	15, 16	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑧 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑤)))
18	7, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑧 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑤)))
19	11, 12	breq12d 4015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
20	19	notbid 667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (¬ 𝐴 # 𝐵 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
21	7	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	8	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑧 ∈ ℝ)
23		reapti 8532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝑧 ↔ ¬ 𝑥 #ℝ 𝑧))
24		apreap 8540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑧 ↔ 𝑥 #ℝ 𝑧))
25	24	notbid 667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 # 𝑧 ↔ ¬ 𝑥 #ℝ 𝑧))
26	23, 25	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝑧 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑧))
27	21, 22, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑥 = 𝑧 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑧))
28	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑦 ∈ ℝ)
29	8	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑤 ∈ ℝ)
30		reapti 8532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑤 ↔ ¬ 𝑦 #ℝ 𝑤))
31		apreap 8540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑤 ↔ 𝑦 #ℝ 𝑤))
32	31	notbid 667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 # 𝑤 ↔ ¬ 𝑦 #ℝ 𝑤))
33	30, 32	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑤 ↔ ¬ 𝑦 # 𝑤))
34	28, 29, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑦 = 𝑤 ↔ ¬ 𝑦 # 𝑤))
35	27, 34	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑧 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑤)))
36	18, 20, 35	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (¬ 𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
37	10, 13, 36	3bitr4d 220	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
38	37	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵)))
39	38	rexlimdvva 2602	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵)))
40	5, 39	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
41	40	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵)))
42	41	rexlimdvva 2602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵)))
43	2, 42	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872  ℂcc 7806  ℝcr 7807  ici 7810   + caddc 7811   · cmul 7813   #_ℝ creap 8527   # cap 8534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535

This theorem is referenced by:  apne  8576  apcon4bid  8577  cnstab  8598  aptap  8603  qapne  9635  expeq0  10546  nn0opthd  10695  recvguniq  10997  climuni  11294  dedekindeu  13972  dedekindicclemicc  13981  ivthinc  13992  limcimo  14005  cnplimclemle  14008  coseq0q4123  14126  cos11  14145  refeq  14636  triap  14637