Theorem apti 8593

Description: Complex apartness is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apti	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem apti

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7967	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
3		cnre 7967	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
6		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
7	6	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
8		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
9		cru 8573	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
11		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
12		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
13	11, 12	eqeq12d 2202	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤))))
14		apreim 8574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
15	14	notbid 668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ ¬ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
16		ioran 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑧 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑤))
17	15, 16	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑧 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑤)))
18	7, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑧 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑤)))
19	11, 12	breq12d 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
20	19	notbid 668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (¬ 𝐴 # 𝐵 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
21	7	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	8	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑧 ∈ ℝ)
23		reapti 8550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝑧 ↔ ¬ 𝑥 #ℝ 𝑧))
24		apreap 8558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑧 ↔ 𝑥 #ℝ 𝑧))
25	24	notbid 668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 # 𝑧 ↔ ¬ 𝑥 #ℝ 𝑧))
26	23, 25	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝑧 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑧))
27	21, 22, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑥 = 𝑧 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑧))
28	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑦 ∈ ℝ)
29	8	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑤 ∈ ℝ)
30		reapti 8550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑤 ↔ ¬ 𝑦 #ℝ 𝑤))
31		apreap 8558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑤 ↔ 𝑦 #ℝ 𝑤))
32	31	notbid 668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 # 𝑤 ↔ ¬ 𝑦 #ℝ 𝑤))
33	30, 32	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑤 ↔ ¬ 𝑦 # 𝑤))
34	28, 29, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑦 = 𝑤 ↔ ¬ 𝑦 # 𝑤))
35	27, 34	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑧 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑤)))
36	18, 20, 35	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (¬ 𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
37	10, 13, 36	3bitr4d 220	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
38	37	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵)))
39	38	rexlimdvva 2612	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵)))
40	5, 39	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
41	40	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵)))
42	41	rexlimdvva 2612	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵)))
43	2, 42	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∃wrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  ℝcr 7824  ici 7827   + caddc 7828   · cmul 7830   #_ℝ creap 8545   # cap 8552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553

This theorem is referenced by:  apne  8594  apcon4bid  8595  cnstab  8616  aptap  8621  qapne  9653  expeq0  10565  nn0opthd  10716  recvguniq  11018  climuni  11315  dedekindeu  14397  dedekindicclemicc  14406  ivthinc  14417  limcimo  14430  cnplimclemle  14433  coseq0q4123  14551  cos11  14570  refeq  15073  triap  15074