ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apti GIF version

Theorem apti 8578
Description: Complex apartness is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apti ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด # ๐ต))

Proof of Theorem apti
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7952 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
21adantr 276 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
3 cnre 7952 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
43adantl 277 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
54ad2antrr 488 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
6 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
76ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
8 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„))
9 cru 8558 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
107, 8, 9syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
11 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
12 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
1311, 12eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))))
14 apreim 8559 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
1514notbid 667 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ (ยฌ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” ยฌ (๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
16 ioran 752 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค) โ†” (ยฌ ๐‘ฅ # ๐‘ง โˆง ยฌ ๐‘ฆ # ๐‘ค))
1715, 16bitrdi 196 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ (ยฌ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (ยฌ ๐‘ฅ # ๐‘ง โˆง ยฌ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
187, 8, 17syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (ยฌ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (ยฌ ๐‘ฅ # ๐‘ง โˆง ยฌ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
1911, 12breq12d 4016 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))))
2019notbid 667 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (ยฌ ๐ด # ๐ต โ†” ยฌ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))))
217simpld 112 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
228simpld 112 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
23 reapti 8535 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†” ยฌ ๐‘ฅ #โ„ ๐‘ง))
24 apreap 8543 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ # ๐‘ง โ†” ๐‘ฅ #โ„ ๐‘ง))
2524notbid 667 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ # ๐‘ง โ†” ยฌ ๐‘ฅ #โ„ ๐‘ง))
2623, 25bitr4d 191 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†” ยฌ ๐‘ฅ # ๐‘ง))
2721, 22, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†” ยฌ ๐‘ฅ # ๐‘ง))
287simprd 114 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
298simprd 114 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
30 reapti 8535 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†” ยฌ ๐‘ฆ #โ„ ๐‘ค))
31 apreap 8543 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ # ๐‘ค โ†” ๐‘ฆ #โ„ ๐‘ค))
3231notbid 667 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘ฆ # ๐‘ค โ†” ยฌ ๐‘ฆ #โ„ ๐‘ค))
3330, 32bitr4d 191 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†” ยฌ ๐‘ฆ # ๐‘ค))
3428, 29, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†” ยฌ ๐‘ฆ # ๐‘ค))
3527, 34anbi12d 473 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†” (ยฌ ๐‘ฅ # ๐‘ง โˆง ยฌ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
3618, 20, 353bitr4d 220 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (ยฌ ๐ด # ๐ต โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
3710, 13, 363bitr4d 220 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด # ๐ต))
3837ex 115 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด # ๐ต)))
3938rexlimdvva 2602 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด # ๐ต)))
405, 39mpd 13 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด # ๐ต))
4140ex 115 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด # ๐ต)))
4241rexlimdvva 2602 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด # ๐ต)))
432, 42mpd 13 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ยฌ ๐ด # ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  ici 7812   + caddc 7813   ยท cmul 7815   #โ„ creap 8530   # cap 8537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538
This theorem is referenced by:  apne  8579  apcon4bid  8580  cnstab  8601  aptap  8606  qapne  9638  expeq0  10550  nn0opthd  10701  recvguniq  11003  climuni  11300  dedekindeu  14037  dedekindicclemicc  14046  ivthinc  14057  limcimo  14070  cnplimclemle  14073  coseq0q4123  14191  cos11  14210  refeq  14712  triap  14713
  Copyright terms: Public domain W3C validator