ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apirr GIF version

Theorem apirr 8330
Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apirr (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)

Proof of Theorem apirr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7726 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 reapirr 8302 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 # 𝑥)
3 apreap 8312 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑥𝑥 # 𝑥))
43anidms 392 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 # 𝑥𝑥 # 𝑥))
52, 4mtbird 645 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 # 𝑥)
6 reapirr 8302 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
7 apreap 8312 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑦𝑦 # 𝑦))
87anidms 392 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 # 𝑦𝑦 # 𝑦))
96, 8mtbird 645 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
105, 9anim12i 334 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
11 ioran 724 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
1210, 11sylibr 133 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦))
13 apreim 8328 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦)))
1413anidms 392 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦)))
1512, 14mtbird 645 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
1615ad2antlr 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
17 id 19 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
1817, 17breq12d 3910 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐴 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
1918notbid 639 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
2019adantl 273 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
2116, 20mpbird 166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ 𝐴 # 𝐴)
2221ex 114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
2322rexlimdvva 2532 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
241, 23mpd 13 1 (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463  wrex 2392   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  ici 7586   + caddc 7587   · cmul 7589   # creap 8299   # cap 8306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-ltxr 7769  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307
This theorem is referenced by:  mulap0r  8340  eirr  11381
  Copyright terms: Public domain W3C validator