ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apirr GIF version

Theorem apirr 8591
Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apirr (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)

Proof of Theorem apirr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7982 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 reapirr 8563 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 # 𝑥)
3 apreap 8573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑥𝑥 # 𝑥))
43anidms 397 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 # 𝑥𝑥 # 𝑥))
52, 4mtbird 674 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 # 𝑥)
6 reapirr 8563 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
7 apreap 8573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑦𝑦 # 𝑦))
87anidms 397 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 # 𝑦𝑦 # 𝑦))
96, 8mtbird 674 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
105, 9anim12i 338 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
11 ioran 753 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
1210, 11sylibr 134 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦))
13 apreim 8589 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦)))
1413anidms 397 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦)))
1512, 14mtbird 674 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
1615ad2antlr 489 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
17 id 19 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
1817, 17breq12d 4031 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐴 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
1918notbid 668 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
2019adantl 277 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
2116, 20mpbird 167 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ 𝐴 # 𝐴)
2221ex 115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
2322rexlimdvva 2615 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
241, 23mpd 13 1 (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895  cc 7838  cr 7839  ici 7842   + caddc 7843   · cmul 7845   # creap 8560   # cap 8567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-ltxr 8026  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568
This theorem is referenced by:  mulap0r  8601  aptap  8636  eirr  11817  dcapnconst  15263
  Copyright terms: Public domain W3C validator