Theorem apirr 8927

Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apirr	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)

Proof of Theorem apirr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		reapirr 8899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 #ℝ 𝑥)
3		apreap 8909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑥 ↔ 𝑥 #ℝ 𝑥))
4	3	anidms 401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 # 𝑥 ↔ 𝑥 #ℝ 𝑥))
5	2, 4	mtbird 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 # 𝑥)
6		reapirr 8899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 #ℝ 𝑦)
7		apreap 8909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑦 ↔ 𝑦 #ℝ 𝑦))
8	7	anidms 401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 # 𝑦 ↔ 𝑦 #ℝ 𝑦))
9	6, 8	mtbird 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
10	5, 9	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
11		ioran 764	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 # 𝑥 ∨ 𝑦 # 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
12	10, 11	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 # 𝑥 ∨ 𝑦 # 𝑦))
13		apreim 8925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥 ∨ 𝑦 # 𝑦)))
14	13	anidms 401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥 ∨ 𝑦 # 𝑦)))
15	12, 14	mtbird 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
16	15	ad2antlr 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
17		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
18	17, 17	breq12d 4141	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐴 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
19	18	notbid 677	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
20	19	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
21	16, 20	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ 𝐴 # 𝐴)
22	21	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
23	22	rexlimdvva 2676	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
24	1, 23	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  ici 8175   + caddc 8176   · cmul 8178   #_ℝ creap 8896   # cap 8903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904

This theorem is referenced by:  mulap0r  8937  aptap  8972  eirr  12529  dcapnconst  17085