Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apirr GIF version

Theorem apirr 8459
 Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apirr (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)

Proof of Theorem apirr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7853 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 reapirr 8431 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 # 𝑥)
3 apreap 8441 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑥𝑥 # 𝑥))
43anidms 395 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 # 𝑥𝑥 # 𝑥))
52, 4mtbird 663 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 # 𝑥)
6 reapirr 8431 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
7 apreap 8441 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑦𝑦 # 𝑦))
87anidms 395 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 # 𝑦𝑦 # 𝑦))
96, 8mtbird 663 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
105, 9anim12i 336 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
11 ioran 742 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
1210, 11sylibr 133 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦))
13 apreim 8457 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦)))
1413anidms 395 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥𝑦 # 𝑦)))
1512, 14mtbird 663 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
1615ad2antlr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
17 id 19 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
1817, 17breq12d 3974 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐴 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
1918notbid 657 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
2019adantl 275 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
2116, 20mpbird 166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ 𝐴 # 𝐴)
2221ex 114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
2322rexlimdvva 2579 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
241, 23mpd 13 1 (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∃wrex 2433   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  ℝcr 7710  ici 7713   + caddc 7714   · cmul 7716   #ℝ creap 8428   # cap 8435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-ltxr 7896  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436 This theorem is referenced by:  mulap0r  8469  eirr  11652  dcapnconst  13572
 Copyright terms: Public domain W3C validator