Theorem apirr 8626

Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apirr	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)

Proof of Theorem apirr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8017	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		reapirr 8598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 #ℝ 𝑥)
3		apreap 8608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑥 ↔ 𝑥 #ℝ 𝑥))
4	3	anidms 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 # 𝑥 ↔ 𝑥 #ℝ 𝑥))
5	2, 4	mtbird 674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 # 𝑥)
6		reapirr 8598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 #ℝ 𝑦)
7		apreap 8608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑦 ↔ 𝑦 #ℝ 𝑦))
8	7	anidms 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 # 𝑦 ↔ 𝑦 #ℝ 𝑦))
9	6, 8	mtbird 674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
10	5, 9	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
11		ioran 753	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 # 𝑥 ∨ 𝑦 # 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 # 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 # 𝑦))
12	10, 11	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 # 𝑥 ∨ 𝑦 # 𝑦))
13		apreim 8624	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥 ∨ 𝑦 # 𝑦)))
14	13	anidms 397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 # 𝑥 ∨ 𝑦 # 𝑦)))
15	12, 14	mtbird 674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
16	15	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦)))
17		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
18	17, 17	breq12d 4043	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐴 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
19	18	notbid 668	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
20	19	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (¬ 𝐴 # 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
21	16, 20	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ¬ 𝐴 # 𝐴)
22	21	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
23	22	rexlimdvva 2619	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ¬ 𝐴 # 𝐴))
24	1, 23	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 𝐴 # 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  ici 7876   + caddc 7877   · cmul 7879   #_ℝ creap 8595   # cap 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603

This theorem is referenced by:  mulap0r  8636  aptap  8671  eirr  11925  dcapnconst  15621