Theorem ixi 8502

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8093	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 7879	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 7912	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 7867	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 7869	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 7925	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 8207	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 145	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2192	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1348  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   − cmin 8090  -cneg 8091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-neg 8093

This theorem is referenced by:  inelr  8503  mulreim  8523  recextlem1  8569  cju  8877  irec  10575  i2  10576  crre  10821  remim  10824  remullem  10835  absi  11023  cosadd  11700  absefib  11733  efieq1re  11734  demoivreALT  11736