Theorem ixi 8481

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8072	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 7858	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 7891	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 7846	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 7848	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 7904	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 8186	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 145	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2187	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1343  (class class class)co 5842  0cc0 7753  1c1 7754  ici 7755   + caddc 7756   · cmul 7758   − cmin 8069  -cneg 8070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-neg 8072

This theorem is referenced by:  inelr  8482  mulreim  8502  recextlem1  8548  cju  8856  irec  10554  i2  10555  crre  10799  remim  10802  remullem  10813  absi  11001  cosadd  11678  absefib  11711  efieq1re  11712  demoivreALT  11714