Theorem ixi 8753

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8343	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 8127	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 8161	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 8115	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 8117	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 8174	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 8457	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2251	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1395  (class class class)co 6013  0cc0 8022  1c1 8023  ici 8024   + caddc 8025   · cmul 8027   − cmin 8340  -cneg 8341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342  df-neg 8343

This theorem is referenced by:  inelr  8754  mulreim  8774  recextlem1  8821  cju  9131  irec  10891  i2  10892  crre  11408  remim  11411  remullem  11422  absi  11610  cosadd  12288  absefib  12322  efieq1re  12323  demoivreALT  12325