Theorem ixi 8638

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8228	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 8012	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 8046	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 8000	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 8002	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 8059	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 8342	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2226	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1372  (class class class)co 5934  0cc0 7907  1c1 7908  ici 7909   + caddc 7910   · cmul 7912   − cmin 8225  -cneg 8226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4583  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-sub 8227  df-neg 8228

This theorem is referenced by:  inelr  8639  mulreim  8659  recextlem1  8706  cju  9016  irec  10765  i2  10766  crre  11087  remim  11090  remullem  11101  absi  11289  cosadd  11967  absefib  12001  efieq1re  12002  demoivreALT  12004