Theorem ixi 8762

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8352	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 8136	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 8170	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 8124	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 8126	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 8183	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 8466	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2253	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1397  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032  ici 8033   + caddc 8034   · cmul 8036   − cmin 8349  -cneg 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352

This theorem is referenced by:  inelr  8763  mulreim  8783  recextlem1  8830  cju  9140  irec  10900  i2  10901  crre  11417  remim  11420  remullem  11431  absi  11619  cosadd  12297  absefib  12331  efieq1re  12332  demoivreALT  12334