Theorem ixi 8874

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8463	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 8248	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 8282	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 8236	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 8238	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 8295	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 8577	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2256	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1398  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144  ici 8145   + caddc 8146   · cmul 8148   − cmin 8460  -cneg 8461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463

This theorem is referenced by:  inelr  8875  mulreim  8895  recextlem1  8942  cju  9252  irec  11025  i2  11026  crre  11567  remim  11570  remullem  11581  absi  11769  cosadd  12448  absefib  12482  efieq1re  12483  demoivreALT  12485