Theorem ixi 8121

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7717	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 7511	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 7541	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 7499	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 7501	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 7554	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 7831	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 145	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2110	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1290  (class class class)co 5666  0cc0 7411  1c1 7412  ici 7413   + caddc 7414   · cmul 7416   − cmin 7714  -cneg 7715

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7716  df-neg 7717

This theorem is referenced by:  inelr  8122  mulreim  8142  recextlem1  8181  cju  8482  irec  10115  i2  10116  crre  10352  remim  10355  remullem  10366  absi  10553  cosadd  11089  absefib  11121  efieq1re  11122  demoivreALT  11124