Theorem ixi 8857

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8447	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 8232	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 8266	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 8220	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 8222	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 8279	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 8561	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2254	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1398  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128  ici 8129   + caddc 8130   · cmul 8132   − cmin 8444  -cneg 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by:  inelr  8858  mulreim  8878  recextlem1  8925  cju  9235  irec  11001  i2  11002  crre  11542  remim  11545  remullem  11556  absi  11744  cosadd  12423  absefib  12457  efieq1re  12458  demoivreALT  12460