Theorem ixi 8901

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8490	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 8274	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 8308	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 8262	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 8264	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 8321	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 8604	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2260	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1402  (class class class)co 6075  0cc0 8169  1c1 8170  ici 8171   + caddc 8172   · cmul 8174   − cmin 8487  -cneg 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490

This theorem is referenced by:  inelr  8902  mulreim  8922  recextlem1  8969  cju  9281  irec  11054  i2  11055  crre  11600  remim  11603  remullem  11614  absi  11803  cosadd  12482  absefib  12516  efieq1re  12517  demoivreALT  12519