Theorem ixi 8911

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8500	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 8284	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 8318	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 8272	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 8274	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 8331	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 8614	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2260	1 ⊢ (i · i) = -1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180  ici 8181   + caddc 8182   · cmul 8184   − cmin 8497  -cneg 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  inelr  8912  mulreim  8932  recextlem1  8979  cju  9291  irec  11076  i2  11077  crre  11622  remim  11625  remullem  11636  absi  11825  cosadd  12504  absefib  12538  efieq1re  12539  demoivreALT  12541