ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apsym GIF version

Theorem apsym 8577
Description: Apartness is symmetric. This theorem for real numbers is part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apsym ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴))

Proof of Theorem apsym
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7967 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
21adantl 277 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
3 cnre 7967 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
43ad3antrrr 492 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
5 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑧 ∈ ℝ)
76ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 reaplt 8559 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑧 ↔ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑥)))
95, 7, 8syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 # 𝑧 ↔ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑥)))
10 reaplt 8559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 # 𝑥 ↔ (𝑧 < 𝑥𝑥 < 𝑧)))
117, 5, 10syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑧 # 𝑥 ↔ (𝑧 < 𝑥𝑥 < 𝑧)))
12 orcom 729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑥) ↔ (𝑧 < 𝑥𝑥 < 𝑧))
1311, 12bitr4di 198 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑧 # 𝑥 ↔ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑥)))
149, 13bitr4d 191 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 # 𝑧𝑧 # 𝑥))
15 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
16 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑤 ∈ ℝ)
1716ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ)
18 reaplt 8559 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑤 ↔ (𝑦 < 𝑤𝑤 < 𝑦)))
1915, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑦 # 𝑤 ↔ (𝑦 < 𝑤𝑤 < 𝑦)))
20 reaplt 8559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑤 # 𝑦 ↔ (𝑤 < 𝑦𝑦 < 𝑤)))
2117, 15, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑤 # 𝑦 ↔ (𝑤 < 𝑦𝑦 < 𝑤)))
22 orcom 729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 < 𝑤𝑤 < 𝑦) ↔ (𝑤 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
2321, 22bitr4di 198 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑤 # 𝑦 ↔ (𝑦 < 𝑤𝑤 < 𝑦)))
2419, 23bitr4d 191 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑦 # 𝑤𝑤 # 𝑦))
2514, 24orbi12d 794 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 # 𝑧𝑦 # 𝑤) ↔ (𝑧 # 𝑥𝑤 # 𝑦)))
26 apreim 8574 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧𝑦 # 𝑤)))
275, 15, 7, 17, 26syl22anc 1249 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧𝑦 # 𝑤)))
28 apreim 8574 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 # 𝑥𝑤 # 𝑦)))
297, 17, 5, 15, 28syl22anc 1249 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 # 𝑥𝑤 # 𝑦)))
3025, 27, 293bitr4d 220 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
31 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
32 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
3331, 32breq12d 4028 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
3432, 31breq12d 4028 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐵 # 𝐴 ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) # (𝑥 + (i · 𝑦))))
3530, 33, 343bitr4d 220 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴))
3635ex 115 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴)))
3736rexlimdvva 2612 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴)))
384, 37mpd 13 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴))
3938ex 115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴)))
4039rexlimdvva 2612 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴)))
412, 40mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1363  wcel 2158  wrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  cc 7823  cr 7824  ici 7827   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006   # cap 8552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553
This theorem is referenced by:  addext  8581  mulext  8585  ltapii  8606  ltapd  8609  aptap  8621  apdivmuld  8784  div2subap  8808  recgt0  8821  prodgt0  8823  pwm1geoserap1  11530  absgtap  11532  geolim  11533  geolim2  11534  geo2sum2  11537  geoisum1c  11542  tanaddap  11761  egt2lt3  11801  sqrt2irraplemnn  12193  triap  15131  apdiff  15150
  Copyright terms: Public domain W3C validator