Theorem ee8anv 1995

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ee8anv	⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑡∃𝑠(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤𝜑 ∧ ∃𝑣∃𝑢∃𝑡∃𝑠𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑣   𝜑,𝑢   𝜑,𝑡   𝜑,𝑠   𝜓,𝑥   𝜓,𝑦   𝜓,𝑧   𝜓,𝑤   𝑥,𝑠   𝑦,𝑠   𝑧,𝑠   𝑤,𝑡   𝑥,𝑡   𝑦,𝑡   𝑤,𝑢   𝑥,𝑢   𝑧,𝑢   𝑤,𝑣   𝑦,𝑣   𝑧,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝜓(𝑣, 𝑢, 𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem ee8anv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exrot4 1743	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑡∃𝑠(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑣∃𝑢∃𝑧∃𝑤∃𝑡∃𝑠(𝜑 ∧ 𝜓))
2	1	2exbii 1659	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑡∃𝑠(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑣∃𝑢∃𝑧∃𝑤∃𝑡∃𝑠(𝜑 ∧ 𝜓))
3		ee4anv 1994	. . . 4 ⊢ (∃𝑧∃𝑤∃𝑡∃𝑠(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑧∃𝑤𝜑 ∧ ∃𝑡∃𝑠𝜓))
4	3	2exbii 1659	. . 3 ⊢ (∃𝑣∃𝑢∃𝑧∃𝑤∃𝑡∃𝑠(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑣∃𝑢(∃𝑧∃𝑤𝜑 ∧ ∃𝑡∃𝑠𝜓))
5	4	2exbii 1659	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑣∃𝑢∃𝑧∃𝑤∃𝑡∃𝑠(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑣∃𝑢(∃𝑧∃𝑤𝜑 ∧ ∃𝑡∃𝑠𝜓))
6		ee4anv 1994	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑣∃𝑢(∃𝑧∃𝑤𝜑 ∧ ∃𝑡∃𝑠𝜓) ↔ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤𝜑 ∧ ∃𝑣∃𝑢∃𝑡∃𝑠𝜓))
7	2, 5, 6	3bitri 206	1 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑡∃𝑠(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤𝜑 ∧ ∃𝑣∃𝑢∃𝑡∃𝑠𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514

This theorem is used by:  enq0tr  7802