Theorem ee4anv 1928

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 31-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ee4anv	⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃𝑧∃𝑤𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧   𝜑,𝑤   𝜓,𝑥   𝜓,𝑦   𝑦,𝑧   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ee4anv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1658	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑧∃𝑦∃𝑤(𝜑 ∧ 𝜓))
2	1	exbii 1599	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(𝜑 ∧ 𝜓))
3		eeanv 1926	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑤(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑦𝜑 ∧ ∃𝑤𝜓))
4	3	2exbii 1600	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑧∃𝑦∃𝑤(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑥∃𝑧(∃𝑦𝜑 ∧ ∃𝑤𝜓))
5		eeanv 1926	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑧(∃𝑦𝜑 ∧ ∃𝑤𝜓) ↔ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃𝑧∃𝑤𝜓))
6	2, 4, 5	3bitri 205	1 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃𝑧∃𝑤𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∃wex 1486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-ial 1528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1455

This theorem is referenced by:  ee8anv  1929  cgsex4g  2768  th3qlem1  6619  dmaddpq  7345  dmmulpq  7346  ltdcnq  7363  enq0ref  7399  nqpnq0nq  7419  nqnq0a  7420  nqnq0m  7421  genpdisj  7489  axaddcl  7830  axmulcl  7832