NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  0lt1c Unicode version

Theorem 0lt1c 6258
Description: Cardinal one is strictly greater than cardinal zero. (Contributed by Scott Fenton, 1-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
0lt1c 0c <c 1c

Proof of Theorem 0lt1c
StepHypRef Expression
1 df0c2 6137 . . . 4 0c Nc
2 0ss 3579 . . . . 5
3 0ex 4110 . . . . . 6
4 snex 4111 . . . . . 6
53, 4nclec 6195 . . . . 5 Nc <_c Nc
62, 5ax-mp 5 . . . 4 Nc <_c Nc
71, 6eqbrtri 4658 . . 3 0c <_c Nc
8 vex 2862 . . . . . . 7
98snnz 3834 . . . . . 6
10 df-ne 2518 . . . . . 6
119, 10mpbi 199 . . . . 5
124ncid 6123 . . . . . . 7 Nc
13 eleq2 2414 . . . . . . 7 0c Nc 0c Nc
1412, 13mpbiri 224 . . . . . 6 0c Nc 0c
15 el0c 4421 . . . . . 6 0c
1614, 15sylib 188 . . . . 5 0c Nc
1711, 16mto 167 . . . 4 0c Nc
18 df-ne 2518 . . . 4 0c Nc 0c Nc
1917, 18mpbir 200 . . 3 0c Nc
20 brltc 6114 . . 3 0c <c Nc 0c <_c Nc 0c Nc
217, 19, 20mpbir2an 886 . 2 0c <c Nc
228df1c3 6140 . 2 1c Nc
2321, 22breqtrri 4664 1 0c <c 1c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516   wss 3257  c0 3550  csn 3737  1cc1c 4134  0cc0c 4374   class class class wbr 4639   <_c clec 6089   <c cltc 6090   Nc cnc 6091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-ltc 6100  df-nc 6101
This theorem is referenced by:  nmembers1lem2  6269
  Copyright terms: Public domain W3C validator