Theorem 0lt1c 6259

Description: Cardinal one is strictly greater than cardinal zero. (Contributed by Scott Fenton, 1-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1c	⊢ 0c <c 1c

Proof of Theorem 0lt1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df0c2 6138	. . . 4 ⊢ 0c = Nc ∅
2		0ss 3580	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ {x}
3		0ex 4111	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
4		snex 4112	. . . . . 6 ⊢ {x} ∈ V
5	3, 4	nclec 6196	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊆ {x} → Nc ∅ ≤c Nc {x})
6	2, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Nc ∅ ≤c Nc {x}
7	1, 6	eqbrtri 4659	. . 3 ⊢ 0c ≤c Nc {x}
8		vex 2863	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
9	8	snnz 3835	. . . . . 6 ⊢ {x} ≠ ∅
10		df-ne 2519	. . . . . 6 ⊢ ({x} ≠ ∅ ↔ ¬ {x} = ∅)
11	9, 10	mpbi 199	. . . . 5 ⊢ ¬ {x} = ∅
12	4	ncid 6124	. . . . . . 7 ⊢ {x} ∈ Nc {x}
13		eleq2 2414	. . . . . . 7 ⊢ (0c = Nc {x} → ({x} ∈ 0c ↔ {x} ∈ Nc {x}))
14	12, 13	mpbiri 224	. . . . . 6 ⊢ (0c = Nc {x} → {x} ∈ 0c)
15		el0c 4422	. . . . . 6 ⊢ ({x} ∈ 0c ↔ {x} = ∅)
16	14, 15	sylib 188	. . . . 5 ⊢ (0c = Nc {x} → {x} = ∅)
17	11, 16	mto 167	. . . 4 ⊢ ¬ 0c = Nc {x}
18		df-ne 2519	. . . 4 ⊢ (0c ≠ Nc {x} ↔ ¬ 0c = Nc {x})
19	17, 18	mpbir 200	. . 3 ⊢ 0c ≠ Nc {x}
20		brltc 6115	. . 3 ⊢ (0c <c Nc {x} ↔ (0c ≤c Nc {x} ∧ 0c ≠ Nc {x}))
21	7, 19, 20	mpbir2an 886	. 2 ⊢ 0c <c Nc {x}
22	8	df1c3 6141	. 2 ⊢ 1c = Nc {x}
23	21, 22	breqtrri 4665	1 ⊢ 0c <c 1c

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517   ⊆ wss 3258  ∅c0 3551  {csn 3738  1_cc1c 4135  0_cc0c 4375   class class class wbr 4640   ≤_c clec 6090   <_c cltc 6091   Nc cnc 6092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-ltc 6101  df-nc 6102

This theorem is referenced by:  nmembers1lem2  6270