Theorem bren 6031

Description: Equinumerosity relationship. (Contributed by SF, 23-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brex 4690	. 2 |- (A ~~ B -> (A e. _V /\ B e. _V))
2		vex 2863	. . . . . 6 |- f e. _V
3	2	dmex 5107	. . . . 5 |- dom f e. _V
4	2	rnex 5108	. . . . 5 |- ran f e. _V
5	3, 4	pm3.2i 441	. . . 4 |- (dom f e. _V /\ ran f e. _V)
6		f1odm 5291	. . . . . 6 |- (f:A-1-1-onto->B -> dom f = A)
7	6	eleq1d 2419	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->B -> (dom f e. _V <-> A e. _V))
8		f1ofo 5294	. . . . . . 7 |- (f:A-1-1-onto->B -> f:A-onto->B)
9		forn 5273	. . . . . . 7 |- (f:A-onto->B -> ran f = B)
10	8, 9	syl 15	. . . . . 6 |- (f:A-1-1-onto->B -> ran f = B)
11	10	eleq1d 2419	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->B -> (ran f e. _V <-> B e. _V))
12	7, 11	anbi12d 691	. . . 4 |- (f:A-1-1-onto->B -> ((dom f e. _V /\ ran f e. _V) <-> (A e. _V /\ B e. _V)))
13	5, 12	mpbii 202	. . 3 |- (f:A-1-1-onto->B -> (A e. _V /\ B e. _V))
14	13	exlimiv 1634	. 2 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> (A e. _V /\ B e. _V))
15		f1oeq2 5283	. . . 4 |- (x = A -> (f:x-1-1-onto->y <-> f:A-1-1-onto->y))
16	15	exbidv 1626	. . 3 |- (x = A -> (E.f f:x-1-1-onto->y <-> E.f f:A-1-1-onto->y))
17		f1oeq3 5284	. . . 4 |- (y = B -> (f:A-1-1-onto->y <-> f:A-1-1-onto->B))
18	17	exbidv 1626	. . 3 |- (y = B -> (E.f f:A-1-1-onto->y <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
19		df-en 6030	. . 3 |- ~~ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y}
20	16, 18, 19	brabg 4707	. 2 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
21	1, 14, 20	pm5.21nii 342	1 |- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Syntax hints:   <-> wb 176   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   class class class wbr 4640  dom cdm 4773  ran crn 4774  -onto->wfo 4780  -1-1-onto->wf1o 4781   ~~ cen 6029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-swap 4725  df-ima 4728  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-en 6030

This theorem is referenced by:  f1oeng  6033  ensymi  6037  entr  6039  en0  6043  unen  6049  xpen  6056  enpw1  6063  enmap2  6069  enmap1  6075  nenpw1pwlem2  6086  ncdisjun  6137  1cnc  6140  sbthlem3  6206  nclenc  6223  lenc  6224