NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  nclenc Unicode version

Theorem nclenc 6222
Description: Comparison rule for cardinalities. (Contributed by SF, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nclenc.1
nclenc.2
Assertion
Ref Expression
nclenc Nc <_c Nc
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem nclenc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nclenc.1 . . . . 5
21ncelncsi 6121 . . . 4 Nc NC
3 nclenc.2 . . . . 5
43ncelncsi 6121 . . . 4 Nc NC
5 dflec3 6221 . . . 4 Nc NC Nc NC Nc <_c Nc Nc Nc
62, 4, 5mp2an 653 . . 3 Nc <_c Nc Nc Nc
7 elnc 6125 . . . . . . . . 9 Nc
8 bren 6030 . . . . . . . . 9
97, 8bitri 240 . . . . . . . 8 Nc
10 elnc 6125 . . . . . . . . 9 Nc
11 bren 6030 . . . . . . . . 9
1210, 11bitri 240 . . . . . . . 8 Nc
139, 12anbi12i 678 . . . . . . 7 Nc Nc
14 eeanv 1913 . . . . . . 7
1513, 14bitr4i 243 . . . . . 6 Nc Nc
16 f1of1 5286 . . . . . . . . . . . 12
17163ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11
18 simp3 957 . . . . . . . . . . 11
19 f1co 5264 . . . . . . . . . . 11
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
21 f1ocnv 5299 . . . . . . . . . . . 12
22 f1of1 5286 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11
24233ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10
25 f1co 5264 . . . . . . . . . 10
2620, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . 9
27 vex 2862 . . . . . . . . . . . 12
28 vex 2862 . . . . . . . . . . . 12
2927, 28coex 4750 . . . . . . . . . . 11
30 vex 2862 . . . . . . . . . . . 12
3130cnvex 5102 . . . . . . . . . . 11
3229, 31coex 4750 . . . . . . . . . 10
33 f1eq1 5253 . . . . . . . . . 10
3432, 33spcev 2946 . . . . . . . . 9
3526, 34syl 15 . . . . . . . 8
36353expia 1153 . . . . . . 7
3736exlimivv 1635 . . . . . 6
3815, 37sylbi 187 . . . . 5 Nc Nc
3938exlimdv 1636 . . . 4 Nc Nc
4039rexlimivv 2743 . . 3 Nc Nc
416, 40sylbi 187 . 2 Nc <_c Nc
421ncid 6123 . . . 4 Nc
433ncid 6123 . . . 4 Nc
44 f1eq2 5254 . . . . . 6
4544exbidv 1626 . . . . 5
46 f1eq3 5255 . . . . . 6
4746exbidv 1626 . . . . 5
4845, 47rspc2ev 2963 . . . 4 Nc Nc Nc Nc
4942, 43, 48mp3an12 1267 . . 3 Nc Nc
50 dflec3 6221 . . . 4 Nc NC Nc NC Nc <_c Nc Nc Nc
512, 4, 50mp2an 653 . . 3 Nc <_c Nc Nc Nc
5249, 51sylibr 203 . 2 Nc <_c Nc
5341, 52impbii 180 1 Nc <_c Nc
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  cvv 2859   class class class wbr 4639   ccom 4721  ccnv 4771  wf1 4778  wf1o 4780   cen 6028   NC cncs 6088   <_c clec 6089   Nc cnc 6091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-nc 6101
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator