Theorem nclenc 6223

Description: Comparison rule for cardinalities. (Contributed by SF, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nclenc.1	|- A e. _V
nclenc.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
nclenc	|- ( Nc A <_c Nc B <-> E.f f:A-1-1->B)

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem nclenc

Dummy variables a b g h i p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nclenc.1	. . . . 5 |- A e. _V
2	1	ncelncsi 6122	. . . 4 |- Nc A e. NC
3		nclenc.2	. . . . 5 |- B e. _V
4	3	ncelncsi 6122	. . . 4 |- Nc B e. NC
5		dflec3 6222	. . . 4 |- (( Nc A e. NC /\ Nc B e. NC ) -> ( Nc A <_c Nc B <-> E.p e. Nc AE.q e. Nc BE.g g:p-1-1->q))
6	2, 4, 5	mp2an 653	. . 3 |- ( Nc A <_c Nc B <-> E.p e. Nc AE.q e. Nc BE.g g:p-1-1->q)
7		elnc 6126	. . . . . . . . 9 |- (p e. Nc A <-> p ~~ A)
8		bren 6031	. . . . . . . . 9 |- (p ~~ A <-> E.h h:p-1-1-onto->A)
9	7, 8	bitri 240	. . . . . . . 8 |- (p e. Nc A <-> E.h h:p-1-1-onto->A)
10		elnc 6126	. . . . . . . . 9 |- (q e. Nc B <-> q ~~ B)
11		bren 6031	. . . . . . . . 9 |- (q ~~ B <-> E.i i:q-1-1-onto->B)
12	10, 11	bitri 240	. . . . . . . 8 |- (q e. Nc B <-> E.i i:q-1-1-onto->B)
13	9, 12	anbi12i 678	. . . . . . 7 |- ((p e. Nc A /\ q e. Nc B) <-> (E.h h:p-1-1-onto->A /\ E.i i:q-1-1-onto->B))
14		eeanv 1913	. . . . . . 7 |- (E.hE.i(h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B) <-> (E.h h:p-1-1-onto->A /\ E.i i:q-1-1-onto->B))
15	13, 14	bitr4i 243	. . . . . 6 |- ((p e. Nc A /\ q e. Nc B) <-> E.hE.i(h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B))
16		f1of1 5287	. . . . . . . . . . . 12 |- (i:q-1-1-onto->B -> i:q-1-1->B)
17	16	3ad2ant2 977	. . . . . . . . . . 11 |- ((h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B /\ g:p-1-1->q) -> i:q-1-1->B)
18		simp3 957	. . . . . . . . . . 11 |- ((h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B /\ g:p-1-1->q) -> g:p-1-1->q)
19		f1co 5265	. . . . . . . . . . 11 |- ((i:q-1-1->B /\ g:p-1-1->q) -> (i o. g):p-1-1->B)
20	17, 18, 19	syl2anc 642	. . . . . . . . . 10 |- ((h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B /\ g:p-1-1->q) -> (i o. g):p-1-1->B)
21		f1ocnv 5300	. . . . . . . . . . . 12 |- (h:p-1-1-onto->A -> `'h:A-1-1-onto->p)
22		f1of1 5287	. . . . . . . . . . . 12 |- (`'h:A-1-1-onto->p -> `'h:A-1-1->p)
23	21, 22	syl 15	. . . . . . . . . . 11 |- (h:p-1-1-onto->A -> `'h:A-1-1->p)
24	23	3ad2ant1 976	. . . . . . . . . 10 |- ((h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B /\ g:p-1-1->q) -> `'h:A-1-1->p)
25		f1co 5265	. . . . . . . . . 10 |- (((i o. g):p-1-1->B /\ `'h:A-1-1->p) -> ((i o. g) o. `'h):A-1-1->B)
26	20, 24, 25	syl2anc 642	. . . . . . . . 9 |- ((h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B /\ g:p-1-1->q) -> ((i o. g) o. `'h):A-1-1->B)
27		vex 2863	. . . . . . . . . . . 12 |- i e. _V
28		vex 2863	. . . . . . . . . . . 12 |- g e. _V
29	27, 28	coex 4751	. . . . . . . . . . 11 |- (i o. g) e. _V
30		vex 2863	. . . . . . . . . . . 12 |- h e. _V
31	30	cnvex 5103	. . . . . . . . . . 11 |- `'h e. _V
32	29, 31	coex 4751	. . . . . . . . . 10 |- ((i o. g) o. `'h) e. _V
33		f1eq1 5254	. . . . . . . . . 10 |- (f = ((i o. g) o. `'h) -> (f:A-1-1->B <-> ((i o. g) o. `'h):A-1-1->B))
34	32, 33	spcev 2947	. . . . . . . . 9 |- (((i o. g) o. `'h):A-1-1->B -> E.f f:A-1-1->B)
35	26, 34	syl 15	. . . . . . . 8 |- ((h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B /\ g:p-1-1->q) -> E.f f:A-1-1->B)
36	35	3expia 1153	. . . . . . 7 |- ((h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B) -> (g:p-1-1->q -> E.f f:A-1-1->B))
37	36	exlimivv 1635	. . . . . 6 |- (E.hE.i(h:p-1-1-onto->A /\ i:q-1-1-onto->B) -> (g:p-1-1->q -> E.f f:A-1-1->B))
38	15, 37	sylbi 187	. . . . 5 |- ((p e. Nc A /\ q e. Nc B) -> (g:p-1-1->q -> E.f f:A-1-1->B))
39	38	exlimdv 1636	. . . 4 |- ((p e. Nc A /\ q e. Nc B) -> (E.g g:p-1-1->q -> E.f f:A-1-1->B))
40	39	rexlimivv 2744	. . 3 |- (E.p e. Nc AE.q e. Nc BE.g g:p-1-1->q -> E.f f:A-1-1->B)
41	6, 40	sylbi 187	. 2 |- ( Nc A <_c Nc B -> E.f f:A-1-1->B)
42	1	ncid 6124	. . . 4 |- A e. Nc A
43	3	ncid 6124	. . . 4 |- B e. Nc B
44		f1eq2 5255	. . . . . 6 |- (a = A -> (f:a-1-1->b <-> f:A-1-1->b))
45	44	exbidv 1626	. . . . 5 |- (a = A -> (E.f f:a-1-1->b <-> E.f f:A-1-1->b))
46		f1eq3 5256	. . . . . 6 |- (b = B -> (f:A-1-1->b <-> f:A-1-1->B))
47	46	exbidv 1626	. . . . 5 |- (b = B -> (E.f f:A-1-1->b <-> E.f f:A-1-1->B))
48	45, 47	rspc2ev 2964	. . . 4 |- ((A e. Nc A /\ B e. Nc B /\ E.f f:A-1-1->B) -> E.a e. Nc AE.b e. Nc BE.f f:a-1-1->b)
49	42, 43, 48	mp3an12 1267	. . 3 |- (E.f f:A-1-1->B -> E.a e. Nc AE.b e. Nc BE.f f:a-1-1->b)
50		dflec3 6222	. . . 4 |- (( Nc A e. NC /\ Nc B e. NC ) -> ( Nc A <_c Nc B <-> E.a e. Nc AE.b e. Nc BE.f f:a-1-1->b))
51	2, 4, 50	mp2an 653	. . 3 |- ( Nc A <_c Nc B <-> E.a e. Nc AE.b e. Nc BE.f f:a-1-1->b)
52	49, 51	sylibr 203	. 2 |- (E.f f:A-1-1->B -> Nc A <_c Nc B)
53	41, 52	impbii 180	1 |- ( Nc A <_c Nc B <-> E.f f:A-1-1->B)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  E.wrex 2616  _Vcvv 2860   class class class wbr 4640   o. ccom 4722  `'ccnv 4772  -1-1->wf1 4779  -1-1-onto->wf1o 4781   ~~ cen 6029   NC cncs 6089   <__c clec 6090   Nc cnc 6092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102

This theorem is referenced by: (None)