NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ncdisjun Unicode version

Theorem ncdisjun 6136
Description: Cardinality of disjoint union of two sets. (Contributed by SF, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ncdisjun.1
ncdisjun.2
Assertion
Ref Expression
ncdisjun Nc Nc Nc

Proof of Theorem ncdisjun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnc 6125 . . 3 Nc
2 bren 6030 . . . . 5
3 f1ocnv 5299 . . . . . . 7
4 imaundi 5039 . . . . . . . . . . 11
5 imadmrn 5008 . . . . . . . . . . . . 13
65a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
7 f1odm 5290 . . . . . . . . . . . . 13
87imaeq2d 4942 . . . . . . . . . . . 12
9 f1ofo 5293 . . . . . . . . . . . . 13
10 forn 5272 . . . . . . . . . . . . 13
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . . 12
126, 8, 113eqtr3d 2393 . . . . . . . . . . 11
134, 12syl5eqr 2399 . . . . . . . . . 10
1413adantl 452 . . . . . . . . 9
15 f1of1 5286 . . . . . . . . . . . . . 14
16 ssun1 3426 . . . . . . . . . . . . . 14
17 f1ores 5300 . . . . . . . . . . . . . 14
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13
19 f1ocnv 5299 . . . . . . . . . . . . 13
20 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120cnvex 5102 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 ncdisjun.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2321, 22resex 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423cnvex 5102 . . . . . . . . . . . . . 14
2524f1oen 6033 . . . . . . . . . . . . 13
2618, 19, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12
27 elnc 6125 . . . . . . . . . . . 12 Nc
2826, 27sylibr 203 . . . . . . . . . . 11 Nc
2928adantl 452 . . . . . . . . . 10 Nc
30 ssun2 3427 . . . . . . . . . . . . . 14
31 f1ores 5300 . . . . . . . . . . . . . 14
3215, 30, 31sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13
33 f1ocnv 5299 . . . . . . . . . . . . 13
34 ncdisjun.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3521, 34resex 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635cnvex 5102 . . . . . . . . . . . . . 14
3736f1oen 6033 . . . . . . . . . . . . 13
3832, 33, 373syl 18 . . . . . . . . . . . 12
3938adantl 452 . . . . . . . . . . 11
40 elnc 6125 . . . . . . . . . . 11 Nc
4139, 40sylibr 203 . . . . . . . . . 10 Nc
42 df-f1 4792 . . . . . . . . . . . . . 14
4342simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13
44 imain 5172 . . . . . . . . . . . . 13
4515, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . 12
4645adantl 452 . . . . . . . . . . 11
47 imaeq2 4938 . . . . . . . . . . . . 13
48 ima0 5013 . . . . . . . . . . . . 13
4947, 48syl6eq 2401 . . . . . . . . . . . 12
5049adantr 451 . . . . . . . . . . 11
5146, 50eqtr3d 2387 . . . . . . . . . 10
52 eladdci 4399 . . . . . . . . . 10 Nc Nc Nc Nc
5329, 41, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 Nc Nc
5414, 53eqeltrrd 2428 . . . . . . . 8 Nc Nc
5554ex 423 . . . . . . 7 Nc Nc
563, 55syl5 28 . . . . . 6 Nc Nc
5756exlimdv 1636 . . . . 5 Nc Nc
582, 57syl5bi 208 . . . 4 Nc Nc
59 eladdc 4398 . . . . 5 Nc Nc Nc Nc
60 simplrl 736 . . . . . . . . . 10 Nc Nc Nc
61 elnc 6125 . . . . . . . . . 10 Nc
6260, 61sylib 188 . . . . . . . . 9 Nc Nc
63 simplrr 737 . . . . . . . . . 10 Nc Nc Nc
64 elnc 6125 . . . . . . . . . 10 Nc
6563, 64sylib 188 . . . . . . . . 9 Nc Nc
66 simpr 447 . . . . . . . . 9 Nc Nc
67 simpll 730 . . . . . . . . 9 Nc Nc
68 unen 6048 . . . . . . . . 9
6962, 65, 66, 67, 68syl22anc 1183 . . . . . . . 8 Nc Nc
70 breq1 4642 . . . . . . . 8
7169, 70syl5ibrcom 213 . . . . . . 7 Nc Nc
7271expimpd 586 . . . . . 6 Nc Nc
7372rexlimdvva 2745 . . . . 5 Nc Nc
7459, 73syl5bi 208 . . . 4 Nc Nc
7558, 74impbid 183 . . 3 Nc Nc
761, 75syl5bb 248 . 2 Nc Nc Nc
7776eqrdv 2351 1 Nc Nc Nc
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  cvv 2859   cun 3207   cin 3208   wss 3257  c0 3550   cplc 4375   class class class wbr 4639  cima 4722  ccnv 4771   cdm 4772   crn 4773   cres 4774   wfun 4775  wf 4777  wf1 4778  wfo 4779  wf1o 4780   cen 6028   Nc cnc 6091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-en 6029  df-nc 6101
This theorem is referenced by:  ncaddccl  6144  1p1e2c  6155  2p1e3c  6156  dflec2  6210  addcdi  6250  nchoicelem7  6295  nchoicelem14  6302
  Copyright terms: Public domain W3C validator