New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  caovmo Unicode version

Theorem caovmo 5645
 Description: Uniqueness of inverse element in commutative, associative operation with identity. Remark in proof of Proposition 9-2.4 of [Gleason] p. 119. (Contributed by set.mm contributors, 4-Mar-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
caovmo.1
caovmo.2
caovmo.dom
caovmo.3
caovmo.com
caovmo.ass
caovmo.id
Assertion
Ref Expression
caovmo
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem caovmo
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2413 . . . . 5
2 oveq2 5531 . . . . . 6
32eqeq1d 2361 . . . . 5
41, 3anbi12d 691 . . . 4
54mo4 2237 . . 3
6 caovmo.1 . . . . . . . . 9
7 vex 2862 . . . . . . . . 9
8 vex 2862 . . . . . . . . 9
9 caovmo.ass . . . . . . . . 9
106, 7, 8, 9caovass 5627 . . . . . . . 8
11 caovmo.com . . . . . . . . 9
126, 7, 8, 11, 9caov12 5636 . . . . . . . 8
1310, 12eqtri 2373 . . . . . . 7
14 oveq2 5531 . . . . . . . 8
15 oveq1 5530 . . . . . . . . . 10
16 id 19 . . . . . . . . . 10
1715, 16eqeq12d 2367 . . . . . . . . 9
18 caovmo.id . . . . . . . . 9
1917, 18vtoclga 2920 . . . . . . . 8
2014, 19sylan9eqr 2407 . . . . . . 7
2113, 20syl5eq 2397 . . . . . 6
2221ad2ant2rl 729 . . . . 5
23 oveq1 5530 . . . . . . 7
24 caovmo.2 . . . . . . . . . 10
2524elexi 2868 . . . . . . . . 9
2625, 8, 11caovcom 5625 . . . . . . . 8
27 oveq1 5530 . . . . . . . . . 10
28 id 19 . . . . . . . . . 10
2927, 28eqeq12d 2367 . . . . . . . . 9
3029, 18vtoclga 2920 . . . . . . . 8
3126, 30syl5eq 2397 . . . . . . 7
3223, 31sylan9eq 2405 . . . . . 6
3332ad2ant2lr 728 . . . . 5
3422, 33eqtr3d 2387 . . . 4
3534ax-gen 1546 . . 3
365, 35mpgbir 1550 . 2
37 eleq1 2413 . . . . . 6
3824, 37mpbiri 224 . . . . 5
39 caovmo.dom . . . . . . 7
40 caovmo.3 . . . . . . 7
417, 39, 40ndmovrcl 5616 . . . . . 6
4241simprd 449 . . . . 5
4338, 42syl 15 . . . 4
4443ancri 535 . . 3
4544moimi 2251 . 2
4636, 45ax-mp 8 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358  wal 1540   wceq 1642   wcel 1710  wmo 2205  cvv 2859  c0 3550   cxp 4770   cdm 4772  (class class class)co 5525 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fv 4795  df-ov 5526 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator