Theorem dffo3 5422

Description: An onto mapping expressed in terms of function values. (Contributed by set.mm contributors, 29-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
dffo3	|- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,F,y

Proof of Theorem dffo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 5273	. 2 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ ran F = B))
2		ffn 5223	. . . . 5 |- (F:A-->B -> F Fn A)
3		fnrnfv 5364	. . . . . 6 |- (F Fn A -> ran F = {y | E.x e. A y = (F` x)})
4	3	eqeq1d 2361	. . . . 5 |- (F Fn A -> (ran F = B <-> {y | E.x e. A y = (F` x)} = B))
5	2, 4	syl 15	. . . 4 |- (F:A-->B -> (ran F = B <-> {y | E.x e. A y = (F` x)} = B))
6		simpr 447	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:A-->B /\ x e. A) /\ y = (F` x)) -> y = (F` x))
7		ffvelrn 5415	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:A-->B /\ x e. A) -> (F` x) e. B)
8	7	adantr 451	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:A-->B /\ x e. A) /\ y = (F` x)) -> (F` x) e. B)
9	6, 8	eqeltrd 2427	. . . . . . . . . 10 |- (((F:A-->B /\ x e. A) /\ y = (F` x)) -> y e. B)
10	9	exp31 587	. . . . . . . . 9 |- (F:A-->B -> (x e. A -> (y = (F` x) -> y e. B)))
11	10	rexlimdv 2737	. . . . . . . 8 |- (F:A-->B -> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B))
12	11	biantrurd 494	. . . . . . 7 |- (F:A-->B -> ((y e. B -> E.x e. A y = (F` x)) <-> ((E.x e. A y = (F` x) -> y e. B) /\ (y e. B -> E.x e. A y = (F` x)))))
13		dfbi2 609	. . . . . . 7 |- ((E.x e. A y = (F` x) <-> y e. B) <-> ((E.x e. A y = (F` x) -> y e. B) /\ (y e. B -> E.x e. A y = (F` x))))
14	12, 13	syl6rbbr 255	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> ((E.x e. A y = (F` x) <-> y e. B) <-> (y e. B -> E.x e. A y = (F` x))))
15	14	albidv 1625	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (A.y(E.x e. A y = (F` x) <-> y e. B) <-> A.y(y e. B -> E.x e. A y = (F` x))))
16		abeq1 2459	. . . . 5 |- ({y | E.x e. A y = (F` x)} = B <-> A.y(E.x e. A y = (F` x) <-> y e. B))
17		df-ral 2619	. . . . 5 |- (A.y e. B E.x e. A y = (F` x) <-> A.y(y e. B -> E.x e. A y = (F` x)))
18	15, 16, 17	3bitr4g 279	. . . 4 |- (F:A-->B -> ({y | E.x e. A y = (F` x)} = B <-> A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))
19	5, 18	bitrd 244	. . 3 |- (F:A-->B -> (ran F = B <-> A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))
20	19	pm5.32i 618	. 2 |- ((F:A-->B /\ ran F = B) <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))
21	1, 20	bitri 240	1 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358  A.wal 1540   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339  A.wral 2614  E.wrex 2615  ran crn 4773   Fn wfn 4776  -->wf 4777  -onto->wfo 4779  ` cfv 4781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795

This theorem is referenced by:  dffo4  5423  foelrn  5425  foco2  5426  foov  5606