Theorem enadjlem1 6060

Description: Lemma for enadj 6061. Calculate equality of differences. (Contributed by SF, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enadjlem1	|- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (A \ {Y}) = (B \ {X}))

Proof of Theorem enadjlem1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3758	. . . . . . . . 9 |- (x e. {Y} -> x = Y)
2	1	necon3ai 2557	. . . . . . . 8 |- (x =/= Y -> -. x e. {Y})
3	2	ad2antll 709	. . . . . . 7 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. A /\ x =/= Y)) -> -. x e. {Y})
4		ssun1 3427	. . . . . . . . . . 11 |- A C_ (A u. {X})
5	4	sseli 3270	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> x e. (A u. {X}))
6	5	ad2antrl 708	. . . . . . . . 9 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. A /\ x =/= Y)) -> x e. (A u. {X}))
7		simpl1 958	. . . . . . . . 9 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. A /\ x =/= Y)) -> (A u. {X}) = (B u. {Y}))
8	6, 7	eleqtrd 2429	. . . . . . . 8 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. A /\ x =/= Y)) -> x e. (B u. {Y}))
9		elun 3221	. . . . . . . 8 |- (x e. (B u. {Y}) <-> (x e. B \/ x e. {Y}))
10	8, 9	sylib 188	. . . . . . 7 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. A /\ x =/= Y)) -> (x e. B \/ x e. {Y}))
11		orel2 372	. . . . . . 7 |- (-. x e. {Y} -> ((x e. B \/ x e. {Y}) -> x e. B))
12	3, 10, 11	sylc 56	. . . . . 6 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. A /\ x =/= Y)) -> x e. B)
13	12	ex 423	. . . . 5 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> ((x e. A /\ x =/= Y) -> x e. B))
14		simp2l 981	. . . . . . . 8 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> -. X e. A)
15		eleq1 2413	. . . . . . . . 9 |- (x = X -> (x e. A <-> X e. A))
16	15	notbid 285	. . . . . . . 8 |- (x = X -> (-. x e. A <-> -. X e. A))
17	14, 16	syl5ibrcom 213	. . . . . . 7 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (x = X -> -. x e. A))
18	17	necon2ad 2565	. . . . . 6 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (x e. A -> x =/= X))
19	18	adantrd 454	. . . . 5 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> ((x e. A /\ x =/= Y) -> x =/= X))
20	13, 19	jcad 519	. . . 4 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> ((x e. A /\ x =/= Y) -> (x e. B /\ x =/= X)))
21		eldifsn 3840	. . . 4 |- (x e. (A \ {Y}) <-> (x e. A /\ x =/= Y))
22		eldifsn 3840	. . . 4 |- (x e. (B \ {X}) <-> (x e. B /\ x =/= X))
23	20, 21, 22	3imtr4g 261	. . 3 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (x e. (A \ {Y}) -> x e. (B \ {X})))
24	23	ssrdv 3279	. 2 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (A \ {Y}) C_ (B \ {X}))
25		elsni 3758	. . . . . . . . 9 |- (x e. {X} -> x = X)
26	25	necon3ai 2557	. . . . . . . 8 |- (x =/= X -> -. x e. {X})
27	26	ad2antll 709	. . . . . . 7 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. B /\ x =/= X)) -> -. x e. {X})
28		ssun1 3427	. . . . . . . . . . 11 |- B C_ (B u. {Y})
29	28	sseli 3270	. . . . . . . . . 10 |- (x e. B -> x e. (B u. {Y}))
30	29	ad2antrl 708	. . . . . . . . 9 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. B /\ x =/= X)) -> x e. (B u. {Y}))
31		simpl1 958	. . . . . . . . 9 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. B /\ x =/= X)) -> (A u. {X}) = (B u. {Y}))
32	30, 31	eleqtrrd 2430	. . . . . . . 8 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. B /\ x =/= X)) -> x e. (A u. {X}))
33		elun 3221	. . . . . . . 8 |- (x e. (A u. {X}) <-> (x e. A \/ x e. {X}))
34	32, 33	sylib 188	. . . . . . 7 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. B /\ x =/= X)) -> (x e. A \/ x e. {X}))
35		orel2 372	. . . . . . 7 |- (-. x e. {X} -> ((x e. A \/ x e. {X}) -> x e. A))
36	27, 34, 35	sylc 56	. . . . . 6 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (x e. B /\ x =/= X)) -> x e. A)
37	36	ex 423	. . . . 5 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> ((x e. B /\ x =/= X) -> x e. A))
38		simp2r 982	. . . . . . . 8 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> -. Y e. B)
39		eleq1 2413	. . . . . . . . 9 |- (x = Y -> (x e. B <-> Y e. B))
40	39	notbid 285	. . . . . . . 8 |- (x = Y -> (-. x e. B <-> -. Y e. B))
41	38, 40	syl5ibrcom 213	. . . . . . 7 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (x = Y -> -. x e. B))
42	41	necon2ad 2565	. . . . . 6 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (x e. B -> x =/= Y))
43	42	adantrd 454	. . . . 5 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> ((x e. B /\ x =/= X) -> x =/= Y))
44	37, 43	jcad 519	. . . 4 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> ((x e. B /\ x =/= X) -> (x e. A /\ x =/= Y)))
45	44, 22, 21	3imtr4g 261	. . 3 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (x e. (B \ {X}) -> x e. (A \ {Y})))
46	45	ssrdv 3279	. 2 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (B \ {X}) C_ (A \ {Y}))
47	24, 46	eqssd 3290	1 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (A \ {Y}) = (B \ {X}))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 357   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2517   \ cdif 3207   u. cun 3208  {csn 3738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-sn 3742

This theorem is referenced by:  enadj  6061