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Description: Equivalence law for adjunction. Theorem XI.1.13 of [Rosser] p. 348. (Contributed by SF, 25-Feb-2015.) |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | sneq 3744 |
. . . . . 6
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2 | 1 | uneq2d 3418 |
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3 | 2 | eqeq1d 2361 |
. . . 4
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4 | eleq1 2413 |
. . . . 5
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5 | 4 | notbid 285 |
. . . 4
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6 | 3, 5 | 3anbi12d 1253 |
. . 3
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7 | simp1 955 |
. . . . . 6
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8 | 7 | difeq1d 3384 |
. . . . 5
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9 | nnsucelrlem2 4425 |
. . . . . 6
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10 | 9 | 3ad2ant2 977 |
. . . . 5
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11 | nnsucelrlem2 4425 |
. . . . . 6
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12 | 11 | 3ad2ant3 978 |
. . . . 5
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13 | 8, 10, 12 | 3eqtr3d 2393 |
. . . 4
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14 | enadj.2 |
. . . . 5
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15 | 14 | enrflx 6035 |
. . . 4
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16 | 13, 15 | syl6eqbr 4676 |
. . 3
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17 | 6, 16 | syl6bi 219 |
. 2
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18 | elsni 3757 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | eqcomd 2358 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | necon3ai 2556 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | adantr 451 |
. . . . . 6
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22 | ssun2 3427 |
. . . . . . . . 9
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23 | enadj.4 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 23 | snid 3760 |
. . . . . . . . 9
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25 | 22, 24 | sselii 3270 |
. . . . . . . 8
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26 | simpr1 961 |
. . . . . . . 8
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27 | 25, 26 | syl5eleqr 2440 |
. . . . . . 7
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28 | elun 3220 |
. . . . . . 7
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29 | 27, 28 | sylib 188 |
. . . . . 6
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30 | orel2 372 |
. . . . . 6
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31 | 21, 29, 30 | sylc 56 |
. . . . 5
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32 | elsni 3757 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | necon3ai 2556 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | adantr 451 |
. . . . . 6
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35 | ssun2 3427 |
. . . . . . . . 9
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36 | enadj.3 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | snid 3760 |
. . . . . . . . 9
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38 | 35, 37 | sselii 3270 |
. . . . . . . 8
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39 | 38, 26 | syl5eleq 2439 |
. . . . . . 7
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40 | elun 3220 |
. . . . . . 7
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41 | 39, 40 | sylib 188 |
. . . . . 6
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42 | orel2 372 |
. . . . . 6
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43 | 34, 41, 42 | sylc 56 |
. . . . 5
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44 | 31, 43 | jca 518 |
. . . 4
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45 | simpl1 958 |
. . . . . . 7
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46 | simpl2 959 |
. . . . . . 7
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47 | simpl3 960 |
. . . . . . 7
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48 | simprl 732 |
. . . . . . 7
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49 | simprr 733 |
. . . . . . 7
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50 | enadjlem1 6059 |
. . . . . . 7
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51 | 45, 46, 47, 48, 49, 50 | syl122anc 1191 |
. . . . . 6
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52 | 51 | 3adant1 973 |
. . . . 5
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53 | enadj.1 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | snex 4111 |
. . . . . . . . . . 11
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55 | 53, 54 | difex 4107 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 55 | enrflx 6035 |
. . . . . . . . 9
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57 | breq2 4643 |
. . . . . . . . 9
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58 | 56, 57 | mpbii 202 |
. . . . . . . 8
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59 | 58 | adantl 452 |
. . . . . . 7
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60 | 23, 36 | ensn 6058 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | a1i 10 |
. . . . . . 7
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62 | incom 3448 |
. . . . . . . . 9
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63 | disjdif 3622 |
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66 | incom 3448 |
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67 | disjdif 3622 |
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68 | 66, 67 | eqtri 2373 |
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71 | 59, 61, 65, 69, 70 | syl22anc 1183 |
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78 | 71, 74, 77 | 3brtr3d 4668 |
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79 | 52, 78 | mpdan 649 |
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80 | 44, 79 | mpd3an3 1278 |
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81 | 80 | ex 423 |
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82 | 17, 81 | pm2.61ine 2592 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1546 ax-5 1557 ax-17 1616 ax-9 1654 ax-8 1675 ax-13 1712 ax-14 1714 ax-6 1729 ax-7 1734 ax-11 1746 ax-12 1925 ax-ext 2334 ax-nin 4078 ax-xp 4079 ax-cnv 4080 ax-1c 4081 ax-sset 4082 ax-si 4083 ax-ins2 4084 ax-ins3 4085 ax-typlower 4086 ax-sn 4087 |
This theorem depends on definitions: df-bi 177 df-or 359 df-an 360 df-3or 935 df-3an 936 df-nan 1288 df-tru 1319 df-ex 1542 df-nf 1545 df-sb 1649 df-eu 2208 df-mo 2209 df-clab 2340 df-cleq 2346 df-clel 2349 df-nfc 2478 df-ne 2518 df-ral 2619 df-rex 2620 df-reu 2621 df-rmo 2622 df-rab 2623 df-v 2861 df-sbc 3047 df-nin 3211 df-compl 3212 df-in 3213 df-un 3214 df-dif 3215 df-symdif 3216 df-ss 3259 df-pss 3261 df-nul 3551 df-if 3663 df-pw 3724 df-sn 3741 df-pr 3742 df-uni 3892 df-int 3927 df-opk 4058 df-1c 4136 df-pw1 4137 df-uni1 4138 df-xpk 4185 df-cnvk 4186 df-ins2k 4187 df-ins3k 4188 df-imak 4189 df-cok 4190 df-p6 4191 df-sik 4192 df-ssetk 4193 df-imagek 4194 df-idk 4195 df-iota 4339 df-0c 4377 df-addc 4378 df-nnc 4379 df-fin 4380 df-lefin 4440 df-ltfin 4441 df-ncfin 4442 df-tfin 4443 df-evenfin 4444 df-oddfin 4445 df-sfin 4446 df-spfin 4447 df-phi 4565 df-op 4566 df-proj1 4567 df-proj2 4568 df-opab 4623 df-br 4640 df-1st 4723 df-swap 4724 df-sset 4725 df-co 4726 df-ima 4727 df-id 4767 df-xp 4784 df-cnv 4785 df-rn 4786 df-dm 4787 df-res 4788 df-fun 4789 df-fn 4790 df-f 4791 df-f1 4792 df-fo 4793 df-f1o 4794 df-2nd 4797 df-en 6029 |
This theorem is referenced by: peano4nc 6150 |
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