New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ltfintr Unicode version

Theorem ltfintr 4459
 Description: Transitivity law for finite less than. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltfintr Nn Nn Nn fin fin fin

Proof of Theorem ltfintr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 797 . . 3 Nn 1c Nn 1c Nn 1c Nn 1c
2 simpl 443 . . . . 5
32a1i 10 . . . 4 Nn Nn Nn
4 reeanv 2778 . . . . 5 Nn Nn 1c 1c Nn 1c Nn 1c
5 addccom 4406 . . . . . . . . . 10 1c 1c
6 peano2 4403 . . . . . . . . . 10 Nn 1c Nn
75, 6syl5eqel 2437 . . . . . . . . 9 Nn 1c Nn
8 nncaddccl 4419 . . . . . . . . 9 Nn 1c Nn 1c Nn
97, 8sylan2 460 . . . . . . . 8 Nn Nn 1c Nn
109adantl 452 . . . . . . 7 Nn Nn Nn Nn Nn 1c Nn
11 addceq1 4383 . . . . . . . . . 10 1c 1c
12 addceq1 4383 . . . . . . . . . 10 1c 1c 1c 1c
1311, 12syl 15 . . . . . . . . 9 1c 1c 1c 1c
1413eqeq2d 2364 . . . . . . . 8 1c 1c 1c 1c
1514biimpa 470 . . . . . . 7 1c 1c 1c 1c
16 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c
17 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
18 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
1917, 18eqtri 2373 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c
2016, 19syl6eqr 2403 . . . . . . . . . . 11 1c 1c
21 addceq1 4383 . . . . . . . . . . 11 1c 1c 1c 1c
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . 10 1c 1c 1c 1c
2322eqeq2d 2364 . . . . . . . . 9 1c 1c 1c 1c
2423rspcev 2955 . . . . . . . 8 1c Nn 1c 1c Nn 1c
2524ex 423 . . . . . . 7 1c Nn 1c 1c Nn 1c
2610, 15, 25syl2im 34 . . . . . 6 Nn Nn Nn Nn Nn 1c 1c Nn 1c
2726rexlimdvva 2745 . . . . 5 Nn Nn Nn Nn Nn 1c 1c Nn 1c
284, 27syl5bir 209 . . . 4 Nn Nn Nn Nn 1c Nn 1c Nn 1c
293, 28anim12d 546 . . 3 Nn Nn Nn Nn 1c Nn 1c Nn 1c
301, 29syl5bi 208 . 2 Nn Nn Nn Nn 1c Nn 1c Nn 1c
31 opkltfing 4449 . . . 4 Nn Nn fin Nn 1c
32313adant3 975 . . 3 Nn Nn Nn fin Nn 1c
33 opkltfing 4449 . . . 4 Nn Nn fin Nn 1c
34333adant1 973 . . 3 Nn Nn Nn fin Nn 1c
3532, 34anbi12d 691 . 2 Nn Nn Nn fin fin Nn 1c Nn 1c
36 opkltfing 4449 . . 3 Nn Nn fin Nn 1c
37363adant2 974 . 2 Nn Nn Nn fin Nn 1c
3830, 35, 373imtr4d 259 1 Nn Nn Nn fin fin fin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   cplc 4375   fin cltfin 4433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-ltfin 4441 This theorem is referenced by:  ltfinasym  4460  ltfintri  4466
 Copyright terms: Public domain W3C validator