NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  leltfintr Unicode version

Theorem leltfintr 4458
Description: Transitivity law for finite less than and less than or equal. (Contributed by SF, 2-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
leltfintr Nn Nn Nn <_fin <fin <fin

Proof of Theorem leltfintr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opklefing 4448 . . . 4 Nn Nn <_fin Nn
213adant3 975 . . 3 Nn Nn Nn <_fin Nn
3 addcnnul 4453 . . . . . . . . . 10
43simpld 445 . . . . . . . . 9
54a1i 10 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn
6 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn
763adant1 973 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Nn Nn
8 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . . . . 15 1c 1c
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 1c 1c
1110a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Nn 1c 1c
12 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c 1c
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 1c 1c
1514eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . 14 1c 1c 1c 1c
1615rspcev 2955 . . . . . . . . . . . . 13 Nn 1c 1c Nn 1c 1c
177, 11, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn Nn 1c 1c
18 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c 1c 1c
1918rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . 12 1c Nn 1c Nn 1c 1c
2017, 19syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Nn 1c Nn 1c
21203expa 1151 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn 1c Nn 1c
2221adantllr 699 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn Nn 1c Nn 1c
2322rexlimdva 2738 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn Nn 1c Nn 1c
245, 23anim12d 546 . . . . . . 7 Nn Nn Nn Nn 1c Nn 1c
25 addcexg 4393 . . . . . . . . 9 Nn Nn
2625adantlr 695 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn
27 simplr 731 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn Nn
28 opkltfing 4449 . . . . . . . 8 Nn <fin Nn 1c
2926, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . 7 Nn Nn Nn <fin Nn 1c
30 opkltfing 4449 . . . . . . . 8 Nn Nn <fin Nn 1c
3130adantr 451 . . . . . . 7 Nn Nn Nn <fin Nn 1c
3224, 29, 313imtr4d 259 . . . . . 6 Nn Nn Nn <fin <fin
33 opkeq1 4059 . . . . . . . 8
3433eleq1d 2419 . . . . . . 7 <fin <fin
3534imbi1d 308 . . . . . 6 <fin <fin <fin <fin
3632, 35syl5ibrcom 213 . . . . 5 Nn Nn Nn <fin <fin
3736rexlimdva 2738 . . . 4 Nn Nn Nn <fin <fin
38373adant2 974 . . 3 Nn Nn Nn Nn <fin <fin
392, 38sylbid 206 . 2 Nn Nn Nn <_fin <fin <fin
4039imp3a 420 1 Nn Nn Nn <_fin <fin <fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  cvv 2859  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   cplc 4375   <_fin clefin 4432   <fin cltfin 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-lefin 4440  df-ltfin 4441
This theorem is referenced by:  lenltfin  4469  vfinncvntnn  4548
  Copyright terms: Public domain W3C validator