Theorem addceq2 4384

Description: Equality law for cardinal addition. (Contributed by SF, 15-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
addceq2	|- (A = B -> (C +o A) = (C +o B))

Proof of Theorem addceq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1eq 4143	. . . . 5 |- (A = B -> ~P1 A = ~P1 B)
2		pw1eq 4143	. . . . 5 |- (~P1 A = ~P1 B -> ~P1 ~P1 A = ~P1 ~P1 B)
3	1, 2	syl 15	. . . 4 |- (A = B -> ~P1 ~P1 A = ~P1 ~P1 B)
4	3	imakeq2d 4229	. . 3 |- (A = B -> (( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 A) = (( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B))
5	4	imakeq1d 4228	. 2 |- (A = B -> ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 A)"kC) = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B)"kC))
6		dfaddc2 4381	. 2 |- (C +o A) = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 A)"kC)
7		dfaddc2 4381	. 2 |- (C +o B) = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B)"kC)
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2410	1 |- (A = B -> (C +o A) = (C +o B))

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1642   ∼ ccompl 3205   \ cdif 3206   u. cun 3207   i^i cin 3208   (+) csymdif 3209  1_cc1c 4134  ~P₁ cpw1 4135   Ins2_k cins2k 4176   Ins3_k cins3k 4177  "_kcimak 4179   SI_k csik 4181   S_k cssetk 4183   +o cplc 4375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-addc 4378

This theorem is referenced by:  addceq12  4385  addceq2i  4387  addceq2d  4390  nncaddccl  4419  lefinaddc  4450  addcnnul  4453  preaddccan2lem1  4454  preaddccan2  4455  nulge  4456  leltfintr  4458  ltfintr  4459  ltfinp1  4462  lefinlteq  4463  lefinrflx  4467  ltlefin  4468  tfinltfinlem1  4500  eventfin  4517  oddtfin  4518  sfinltfin  4535  braddcfn  5826  dflec2  6210  addceq0  6219  tlecg  6230  nclenn  6249  csucex  6259  addccan2nclem2  6264  addccan2nc  6265  ncslesuc  6267  nchoicelem17  6305