Theorem mpt2mptx 5708

Description: Express a two-argument function as a one-argument function, or vice-versa. In this version B(x) is not assumed to be constant w.r.t x. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpt2mpt.1	|- (z = <.x, y>. -> C = D)

Assertion

Ref	Expression
mpt2mptx	|- (z e. U_x e. A ({x} X. B) |-> C) = (x e. A, y e. B |-> D)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   y,B,z   x,C,y   z,D

Allowed substitution hints:   B(x)   C(z)   D(x,y)

Proof of Theorem mpt2mptx

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mpt 5652	. 2 |- (z e. U_x e. A ({x} X. B) |-> C) = {<.z, w>. | (z e. U_x e. A ({x} X. B) /\ w = C)}
2		df-mpt2 5654	. . 3 |- (x e. A, y e. B |-> D) = {<.<.x, y>., w>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D)}
3		eliunxp 4821	. . . . . . 7 |- (z e. U_x e. A ({x} X. B) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)))
4	3	anbi1i 676	. . . . . 6 |- ((z e. U_x e. A ({x} X. B) /\ w = C) <-> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ w = C))
5		19.41vv 1902	. . . . . 6 |- (E.xE.y((z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ w = C) <-> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ w = C))
6		anass 630	. . . . . . . 8 |- (((z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ w = C) <-> (z = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ w = C)))
7		mpt2mpt.1	. . . . . . . . . . 11 |- (z = <.x, y>. -> C = D)
8	7	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 |- (z = <.x, y>. -> (w = C <-> w = D))
9	8	anbi2d 684	. . . . . . . . 9 |- (z = <.x, y>. -> (((x e. A /\ y e. B) /\ w = C) <-> ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D)))
10	9	pm5.32i 618	. . . . . . . 8 |- ((z = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ w = C)) <-> (z = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D)))
11	6, 10	bitri 240	. . . . . . 7 |- (((z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ w = C) <-> (z = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D)))
12	11	2exbii 1583	. . . . . 6 |- (E.xE.y((z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ w = C) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D)))
13	4, 5, 12	3bitr2i 264	. . . . 5 |- ((z e. U_x e. A ({x} X. B) /\ w = C) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D)))
14	13	opabbii 4626	. . . 4 |- {<.z, w>. | (z e. U_x e. A ({x} X. B) /\ w = C)} = {<.z, w>. | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D))}
15		dfoprab2 5558	. . . 4 |- {<.<.x, y>., w>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D)} = {<.z, w>. | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D))}
16	14, 15	eqtr4i 2376	. . 3 |- {<.z, w>. | (z e. U_x e. A ({x} X. B) /\ w = C)} = {<.<.x, y>., w>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ w = D)}
17	2, 16	eqtr4i 2376	. 2 |- (x e. A, y e. B |-> D) = {<.z, w>. | (z e. U_x e. A ({x} X. B) /\ w = C)}
18	1, 17	eqtr4i 2376	1 |- (z e. U_x e. A ({x} X. B) |-> C) = (x e. A, y e. B |-> D)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  {csn 3737  U_ciun 3969  <.cop 4561  {copab 4622   X. cxp 4770  {coprab 5527   |-> cmpt 5651   |-> cmpt2 5653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-xp 4784  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654

This theorem is referenced by:  mpt2mpt  5709  fmpt2x  5730