Theorem nchoicelem5 6293

Description: Lemma for nchoice 6308. A cardinal is not a member of the special set of itself raised to two. Theorem 6.5 of [Specker] p. 973. (Contributed by SF, 13-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nchoicelem5	|- ((M e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC ) -> -. M e. ( Spac ` (2c ↑c M)))

Proof of Theorem nchoicelem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ce2lt 6220	. . . 4 |- ((M e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC ) -> M <c (2c ↑c M))
2		2nc 6168	. . . . . . 7 |- 2c e. NC
3	2	jctl 525	. . . . . 6 |- (M e. NC -> (2c e. NC /\ M e. NC ))
4		2nnc 6167	. . . . . . . . 9 |- 2c e. Nn
5		ce0nn 6180	. . . . . . . . 9 |- (2c e. Nn -> (2c ↑c 0c) =/= (/))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (2c ↑c 0c) =/= (/)
7		ce0nulnc 6184	. . . . . . . . 9 |- (2c e. NC -> ((2c ↑c 0c) =/= (/) <-> (2c ↑c 0c) e. NC ))
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ((2c ↑c 0c) =/= (/) <-> (2c ↑c 0c) e. NC )
9	6, 8	mpbi 199	. . . . . . 7 |- (2c ↑c 0c) e. NC
10	9	jctl 525	. . . . . 6 |- ((M ↑c 0c) e. NC -> ((2c ↑c 0c) e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC ))
11		cecl 6186	. . . . . 6 |- (((2c e. NC /\ M e. NC ) /\ ((2c ↑c 0c) e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC )) -> (2c ↑c M) e. NC )
12	3, 10, 11	syl2an 463	. . . . 5 |- ((M e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC ) -> (2c ↑c M) e. NC )
13		ltlenlec 6207	. . . . 5 |- ((M e. NC /\ (2c ↑c M) e. NC ) -> (M <c (2c ↑c M) <-> (M <_c (2c ↑c M) /\ -. (2c ↑c M) <_c M)))
14	12, 13	syldan 456	. . . 4 |- ((M e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC ) -> (M <c (2c ↑c M) <-> (M <_c (2c ↑c M) /\ -. (2c ↑c M) <_c M)))
15	1, 14	mpbid 201	. . 3 |- ((M e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC ) -> (M <_c (2c ↑c M) /\ -. (2c ↑c M) <_c M))
16	15	simprd 449	. 2 |- ((M e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC ) -> -. (2c ↑c M) <_c M)
17		nchoicelem4 6292	. . 3 |- (((2c ↑c M) e. NC /\ M e. ( Spac ` (2c ↑c M))) -> (2c ↑c M) <_c M)
18	12, 17	sylan 457	. 2 |- (((M e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC ) /\ M e. ( Spac ` (2c ↑c M))) -> (2c ↑c M) <_c M)
19	16, 18	mtand 640	1 |- ((M e. NC /\ (M ↑c 0c) e. NC ) -> -. M e. ( Spac ` (2c ↑c M)))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   e. wcel 1710   =/= wne 2516  (/)c0 3550   Nn cnnc 4373  0_cc0c 4374   class class class wbr 4639  ` cfv 4781  (class class class)co 5525   NC cncs 6088   <__c clec 6089   <_c cltc 6090  2_cc2c 6094   ↑_c cce 6096   Sp_ac cspac 6273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-fix 5740  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-fullfun 5768  df-clos1 5873  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-ltc 6100  df-nc 6101  df-2c 6104  df-ce 6106  df-spac 6274

This theorem is referenced by:  nchoicelem7  6295  nchoicelem14  6302