New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  peano5 Unicode version

Theorem peano5 4409
 Description: The principle of mathematical induction: a set containing cardinal zero and closed under the successor operator is a superset of the finite cardinals. Theorem X.1.6 of [Rosser] p. 276. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
peano5 0c Nn 1c Nn
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem peano5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncex 4396 . . 3 Nn
2 inexg 4100 . . 3 Nn Nn
31, 2mpan 651 . 2 Nn
4 peano1 4402 . . 3 0c Nn
5 elin 3219 . . . 4 0c Nn 0c Nn 0c
65biimpri 197 . . 3 0c Nn 0c 0c Nn
74, 6mpan 651 . 2 0c 0c Nn
8 elin 3219 . . . . . 6 Nn Nn
98imbi1i 315 . . . . 5 Nn 1c Nn 1c
10 impexp 433 . . . . 5 Nn 1c Nn 1c
119, 10bitri 240 . . . 4 Nn 1c Nn 1c
12 inss1 3475 . . . . . . . 8 Nn Nn
1312sseli 3269 . . . . . . 7 Nn Nn
14 peano2 4403 . . . . . . 7 Nn 1c Nn
1513, 14syl 15 . . . . . 6 Nn 1c Nn
16 elin 3219 . . . . . . . 8 1c Nn 1c Nn 1c
1716biimpri 197 . . . . . . 7 1c Nn 1c 1c Nn
1817a1i 10 . . . . . 6 Nn 1c Nn 1c 1c Nn
1915, 18mpand 656 . . . . 5 Nn 1c 1c Nn
2019a2i 12 . . . 4 Nn 1c Nn 1c Nn
2111, 20sylbir 204 . . 3 Nn 1c Nn 1c Nn
2221ralimi2 2686 . 2 Nn 1c Nn 1c Nn
23 df-nnc 4379 . . . 4 Nn 0c 1c
24 eleq2 2414 . . . . . . . . 9 Nn 0c 0c Nn
25 eleq2 2414 . . . . . . . . . 10 Nn 1c 1c Nn
2625raleqbi1dv 2815 . . . . . . . . 9 Nn 1c Nn 1c Nn
2724, 26anbi12d 691 . . . . . . . 8 Nn 0c 1c 0c Nn Nn 1c Nn
2827elabg 2986 . . . . . . 7 Nn Nn 0c 1c 0c Nn Nn 1c Nn
2928biimprd 214 . . . . . 6 Nn 0c Nn Nn 1c Nn Nn 0c 1c
30293impib 1149 . . . . 5 Nn 0c Nn Nn 1c Nn Nn 0c 1c
31 intss1 3941 . . . . 5 Nn 0c 1c 0c 1c Nn
3230, 31syl 15 . . . 4 Nn 0c Nn Nn 1c Nn 0c 1c Nn
3323, 32syl5eqss 3315 . . 3 Nn 0c Nn Nn 1c Nn Nn Nn
34 inss2 3476 . . 3 Nn
3533, 34syl6ss 3284 . 2 Nn 0c Nn Nn 1c Nn Nn
363, 7, 22, 35syl3an 1224 1 0c Nn 1c Nn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wral 2614  cvv 2859   cin 3208   wss 3257  cint 3926  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379 This theorem is referenced by:  findsd  4410  dmfrec  6316
 Copyright terms: Public domain W3C validator