Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dmfrec.2 |
. . . 4
![(](lp.gif) ![V](_cv.gif) ![)](rp.gif) |
2 | | dmfrec.1 |
. . . . 5
FRec ![(](lp.gif) ![G](_cg.gif) ![I](_ci.gif) ![)](rp.gif) |
3 | 2 | frecxpg 6315 |
. . . 4
![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![I](_ci.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
4 | | dmss 4906 |
. . . 4
![(](lp.gif)
Nn ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![I](_ci.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) Nn ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![I](_ci.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
5 | 1, 3, 4 | 3syl 18 |
. . 3
![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![I](_ci.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
6 | | dmxpss 5052 |
. . 3
Nn ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![I](_ci.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) Nn |
7 | 5, 6 | syl6ss 3284 |
. 2
![(](lp.gif) Nn ![)](rp.gif) |
8 | 2 | frecexg 6312 |
. . . . 5
![(](lp.gif) ![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
9 | 1, 8 | syl 15 |
. . . 4
![(](lp.gif) ![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
10 | | dmexg 5105 |
. . . 4
![(](lp.gif)
![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
11 | 9, 10 | syl 15 |
. . 3
![(](lp.gif) ![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
12 | | dmfrec.3 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) |
13 | | 0cex 4392 |
. . . . . . . . 9
0c
![_V](rmcv.gif) |
14 | | opexg 4587 |
. . . . . . . . 9
![(](lp.gif) 0c ![G](_cg.gif)
0c ![I](_ci.gif) ![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
15 | 13, 14 | mpan 651 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
16 | 12, 15 | syl 15 |
. . . . . . 7
![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
17 | | snidg 3758 |
. . . . . . 7
![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) |
18 | 16, 17 | syl 15 |
. . . . . 6
![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) |
19 | 18 | orcd 381 |
. . . . 5
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![E.](exists.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
20 | | snex 4111 |
. . . . . 6
![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![_V](rmcv.gif) |
21 | | csucex 6259 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![_V](rmcv.gif) |
22 | | pprodexg 5837 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![V](_cv.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif)
![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
23 | 21, 22 | mpan 651 |
. . . . . . 7
![(](lp.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif)
![G](_cg.gif) ![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
24 | 1, 23 | syl 15 |
. . . . . 6
![(](lp.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif)
![_V](rmcv.gif) ![)](rp.gif) |
25 | | df-frec 6310 |
. . . . . . . 8
FRec ![(](lp.gif) ![G](_cg.gif) ![I](_ci.gif)
Clos1 ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![}](rbrace.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
26 | 2, 25 | eqtri 2373 |
. . . . . . 7
Clos1
![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![}](rbrace.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif)
![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
27 | 26 | clos1basesucg 5884 |
. . . . . 6
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif)
![_V](rmcv.gif) ![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![E.](exists.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
28 | 20, 24, 27 | sylancr 644 |
. . . . 5
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![E.](exists.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
29 | 19, 28 | mpbird 223 |
. . . 4
![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![F](_cf.gif) ![)](rp.gif) |
30 | | opeldm 4910 |
. . . 4
![(](lp.gif) 0c ![I](_ci.gif) 0c
![F](_cf.gif) ![)](rp.gif) |
31 | 29, 30 | syl 15 |
. . 3
![(](lp.gif) 0c ![F](_cf.gif) ![)](rp.gif) |
32 | | eldm2 4899 |
. . . . 5
![(](lp.gif) ![E.](exists.gif) ![y](_y.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![F](_cf.gif) ![)](rp.gif) |
33 | 26 | clos1basesucg 5884 |
. . . . . . . . . 10
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif)
![_V](rmcv.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif)
![y](_y.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![E.](exists.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![>.](rangle.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
34 | 20, 24, 33 | sylancr 644 |
. . . . . . . . 9
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif)
![y](_y.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![E.](exists.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![>.](rangle.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
35 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![_V](rmcv.gif) |
36 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![_V](rmcv.gif) |
37 | 35, 36 | opex 4588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![_V](rmcv.gif) |
38 | 37 | elsnc 3756 |
. . . . . . . . . . . . 13
![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif)
![y](_y.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![)](rp.gif) |
39 | | opth 4602 |
. . . . . . . . . . . . 13
![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif)
![y](_y.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![(](lp.gif) 0c
![I](_ci.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
40 | 38, 39 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . 12
![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif)
![y](_y.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![(](lp.gif) 0c
![I](_ci.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
41 | 40 | simprbi 450 |
. . . . . . . . . . 11
![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif)
![y](_y.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif)
![I](_ci.gif) ![)](rp.gif) |
42 | | eleq1 2413 |
. . . . . . . . . . . . 13
![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
43 | 42 | biimprcd 216 |
. . . . . . . . . . . 12
![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
44 | 12, 43 | syl 15 |
. . . . . . . . . . 11
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
45 | 41, 44 | syl5 28 |
. . . . . . . . . 10
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
46 | | opeq 4619 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Proj1 ![t](_t.gif) Proj2 ![t](_t.gif) ![>.](rangle.gif) |
47 | 46 | breq1i 4646 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![(](lp.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) Proj1 ![t](_t.gif) Proj2 ![t](_t.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![>.](rangle.gif) ![)](rp.gif) |
48 | | qrpprod 5836 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![(](lp.gif) Proj1
![t](_t.gif)
Proj2 ![t](_t.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif)
![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) Proj1 ![t](_t.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) Proj2
![t](_t.gif) ![G](_cg.gif) ![y](_y.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
49 | 47, 48 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![(](lp.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) Proj1 ![t](_t.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) Proj2
![t](_t.gif) ![G](_cg.gif) ![y](_y.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
50 | 49 | simprbi 450 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![(](lp.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) Proj2 ![t](_t.gif) ![G](_cg.gif) ![y](_y.gif) ![)](rp.gif) |
51 | | brelrn 4960 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Proj2
![t](_t.gif) ![G](_cg.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) |
52 | 50, 51 | syl 15 |
. . . . . . . . . . . . 13
![(](lp.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) |
53 | | dmfrec.4 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![(](lp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) |
54 | 53 | sseld 3272 |
. . . . . . . . . . . . 13
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
55 | 52, 54 | syl5 28 |
. . . . . . . . . . . 12
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif)
![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
56 | 55 | adantr 451 |
. . . . . . . . . . 11
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![F](_cf.gif) ![(](lp.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif)
![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
57 | 56 | rexlimdva 2738 |
. . . . . . . . . 10
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![E.](exists.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif)
![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
58 | 45, 57 | jaod 369 |
. . . . . . . . 9
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![{](lbrace.gif) 0c ![I](_ci.gif) ![>.](rangle.gif) ![E.](exists.gif) PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![>.](rangle.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
59 | 34, 58 | sylbid 206 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif)
![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
60 | 59 | ancld 536 |
. . . . . . 7
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
61 | 26 | clos1conn 5879 |
. . . . . . . . 9
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif)
PProd ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![z](_z.gif) ![>.](rangle.gif) ![<.](langle.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![z](_z.gif) ![F](_cf.gif) ![)](rp.gif) |
62 | 61 | eximi 1576 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) ![E.](exists.gif) ![z](_z.gif) ![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif) ![y](_y.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif)
![y](_y.gif) PProd
![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![G](_cg.gif) ![)](rp.gif) ![<.](langle.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![z](_z.gif) ![>.](rangle.gif) ![E.](exists.gif) ![z](_z.gif) ![<.](langle.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif)
![z](_z.gif) ![F](_cf.gif) ![)](rp.gif) |
63 | | eldm 4898 |
. . . . . . . . . . 11
![(](lp.gif) ![E.](exists.gif) ![y](_y.gif) ![G](_cg.gif) ![z](_z.gif) ![)](rp.gif) |
64 | | eqid 2353 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![(](lp.gif) 1c
![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) |
65 | | 1cex 4142 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
1c
![_V](rmcv.gif) |
66 | 35, 65 | addcex 4394 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![(](lp.gif) 1c
![_V](rmcv.gif) |
67 | 35, 66 | brcsuc 6260 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![(](lp.gif) ![x](_x.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![(](lp.gif) 1c ![(](lp.gif)
1c
![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
68 | 64, 67 | mpbir 200 |
. . . . . . . . . . . . 13
![x](_x.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) |
69 | | qrpprod 5836 |
. . . . . . . . . . . . 13
![(](lp.gif) ![<.](langle.gif) ![x](_x.gif)
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