New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  sucoddeven Unicode version

Theorem sucoddeven 4511
 Description: The successor of an odd natural is even. (Contributed by SF, 22-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
sucoddeven Oddfin 1c 1c Evenfin

Proof of Theorem sucoddeven
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 1c 1c
21rexbidv 2635 . . . . . . 7 Nn 1c Nn 1c
3 neeq1 2524 . . . . . . 7
42, 3anbi12d 691 . . . . . 6 Nn 1c Nn 1c
5 df-oddfin 4445 . . . . . 6 Oddfin Nn 1c
64, 5elab2g 2987 . . . . 5 Oddfin Oddfin Nn 1c
76ibi 232 . . . 4 Oddfin Nn 1c
8 peano2 4403 . . . . . . . 8 Nn 1c Nn
9 addc32 4416 . . . . . . . . . . 11 1c 1c
109addceq1i 4386 . . . . . . . . . 10 1c 1c 1c 1c
11 addcass 4415 . . . . . . . . . 10 1c 1c 1c 1c
1210, 11eqtri 2373 . . . . . . . . 9 1c 1c 1c 1c
13 addceq12 4385 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c 1c 1c
1413anidms 626 . . . . . . . . . . 11 1c 1c 1c
1514eqeq2d 2364 . . . . . . . . . 10 1c 1c 1c 1c 1c 1c 1c
1615rspcev 2955 . . . . . . . . 9 1c Nn 1c 1c 1c 1c Nn 1c 1c
1712, 16mpan2 652 . . . . . . . 8 1c Nn Nn 1c 1c
188, 17syl 15 . . . . . . 7 Nn Nn 1c 1c
19 addceq1 4383 . . . . . . . . . . 11 1c 1c 1c 1c
2019eqeq1d 2361 . . . . . . . . . 10 1c 1c 1c 1c
2120rexbidv 2635 . . . . . . . . 9 1c Nn 1c Nn 1c 1c
2221biimprd 214 . . . . . . . 8 1c Nn 1c 1c Nn 1c
2322com12 27 . . . . . . 7 Nn 1c 1c 1c Nn 1c
2418, 23syl 15 . . . . . 6 Nn 1c Nn 1c
2524rexlimiv 2732 . . . . 5 Nn 1c Nn 1c
2625adantr 451 . . . 4 Nn 1c Nn 1c
277, 26syl 15 . . 3 Oddfin Nn 1c
2827anim1i 551 . 2 Oddfin 1c Nn 1c 1c
29 1cex 4142 . . . . 5 1c
30 addcexg 4393 . . . . 5 Oddfin 1c 1c
3129, 30mpan2 652 . . . 4 Oddfin 1c
32 eqeq1 2359 . . . . . . 7 1c 1c
3332rexbidv 2635 . . . . . 6 1c Nn Nn 1c
34 neeq1 2524 . . . . . 6 1c 1c
3533, 34anbi12d 691 . . . . 5 1c Nn Nn 1c 1c
36 df-evenfin 4444 . . . . 5 Evenfin Nn
3735, 36elab2g 2987 . . . 4 1c 1c Evenfin Nn 1c 1c
3831, 37syl 15 . . 3 Oddfin 1c Evenfin Nn 1c 1c
3938adantr 451 . 2 Oddfin 1c 1c Evenfin Nn 1c 1c
4028, 39mpbird 223 1 Oddfin 1c 1c Evenfin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  cvv 2859  c0 3550  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   cplc 4375   Evenfin cevenfin 4436   Oddfin coddfin 4437 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445 This theorem is referenced by:  evenoddnnnul  4514  vinf  4555
 Copyright terms: Public domain W3C validator