Theorem sucoddeven 4512

Description: The successor of an odd natural is even. (Contributed by SF, 22-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sucoddeven	⊢ ((A ∈ Oddfin ∧ (A +c 1c) ≠ ∅) → (A +c 1c) ∈ Evenfin )

Proof of Theorem sucoddeven

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2359	. . . . . . . 8 ⊢ (x = A → (x = ((n +c n) +c 1c) ↔ A = ((n +c n) +c 1c)))
2	1	rexbidv 2636	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (∃n ∈ Nn x = ((n +c n) +c 1c) ↔ ∃n ∈ Nn A = ((n +c n) +c 1c)))
3		neeq1 2525	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (x ≠ ∅ ↔ A ≠ ∅))
4	2, 3	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (x = A → ((∃n ∈ Nn x = ((n +c n) +c 1c) ∧ x ≠ ∅) ↔ (∃n ∈ Nn A = ((n +c n) +c 1c) ∧ A ≠ ∅)))
5		df-oddfin 4446	. . . . . 6 ⊢ Oddfin = {x ∣ (∃n ∈ Nn x = ((n +c n) +c 1c) ∧ x ≠ ∅)}
6	4, 5	elab2g 2988	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Oddfin → (A ∈ Oddfin ↔ (∃n ∈ Nn A = ((n +c n) +c 1c) ∧ A ≠ ∅)))
7	6	ibi 232	. . . 4 ⊢ (A ∈ Oddfin → (∃n ∈ Nn A = ((n +c n) +c 1c) ∧ A ≠ ∅))
8		peano2 4404	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c 1c) ∈ Nn )
9		addc32 4417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((n +c n) +c 1c) = ((n +c 1c) +c n)
10	9	addceq1i 4387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c n) +c 1c)
11		addcass 4416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((n +c 1c) +c n) +c 1c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))
12	10, 11	eqtri 2373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))
13		addceq12 4386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((m = (n +c 1c) ∧ m = (n +c 1c)) → (m +c m) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c)))
14	13	anidms 626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (m = (n +c 1c) → (m +c m) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c)))
15	14	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (m = (n +c 1c) → ((((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m) ↔ (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))))
16	15	rspcev 2956	. . . . . . . . 9 ⊢ (((n +c 1c) ∈ Nn ∧ (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))) → ∃m ∈ Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m))
17	12, 16	mpan2 652	. . . . . . . 8 ⊢ ((n +c 1c) ∈ Nn → ∃m ∈ Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m))
18	8, 17	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → ∃m ∈ Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m))
19		addceq1 4384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A = ((n +c n) +c 1c) → (A +c 1c) = (((n +c n) +c 1c) +c 1c))
20	19	eqeq1d 2361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = ((n +c n) +c 1c) → ((A +c 1c) = (m +c m) ↔ (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m)))
21	20	rexbidv 2636	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = ((n +c n) +c 1c) → (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m) ↔ ∃m ∈ Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m)))
22	21	biimprd 214	. . . . . . . 8 ⊢ (A = ((n +c n) +c 1c) → (∃m ∈ Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m) → ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m)))
23	22	com12 27	. . . . . . 7 ⊢ (∃m ∈ Nn (((n +c n) +c 1c) +c 1c) = (m +c m) → (A = ((n +c n) +c 1c) → ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m)))
24	18, 23	syl 15	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → (A = ((n +c n) +c 1c) → ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m)))
25	24	rexlimiv 2733	. . . . 5 ⊢ (∃n ∈ Nn A = ((n +c n) +c 1c) → ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m))
26	25	adantr 451	. . . 4 ⊢ ((∃n ∈ Nn A = ((n +c n) +c 1c) ∧ A ≠ ∅) → ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m))
27	7, 26	syl 15	. . 3 ⊢ (A ∈ Oddfin → ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m))
28	27	anim1i 551	. 2 ⊢ ((A ∈ Oddfin ∧ (A +c 1c) ≠ ∅) → (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅))
29		1cex 4143	. . . . 5 ⊢ 1c ∈ V
30		addcexg 4394	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Oddfin ∧ 1c ∈ V) → (A +c 1c) ∈ V)
31	29, 30	mpan2 652	. . . 4 ⊢ (A ∈ Oddfin → (A +c 1c) ∈ V)
32		eqeq1 2359	. . . . . . 7 ⊢ (x = (A +c 1c) → (x = (m +c m) ↔ (A +c 1c) = (m +c m)))
33	32	rexbidv 2636	. . . . . 6 ⊢ (x = (A +c 1c) → (∃m ∈ Nn x = (m +c m) ↔ ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m)))
34		neeq1 2525	. . . . . 6 ⊢ (x = (A +c 1c) → (x ≠ ∅ ↔ (A +c 1c) ≠ ∅))
35	33, 34	anbi12d 691	. . . . 5 ⊢ (x = (A +c 1c) → ((∃m ∈ Nn x = (m +c m) ∧ x ≠ ∅) ↔ (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅)))
36		df-evenfin 4445	. . . . 5 ⊢ Evenfin = {x ∣ (∃m ∈ Nn x = (m +c m) ∧ x ≠ ∅)}
37	35, 36	elab2g 2988	. . . 4 ⊢ ((A +c 1c) ∈ V → ((A +c 1c) ∈ Evenfin ↔ (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅)))
38	31, 37	syl 15	. . 3 ⊢ (A ∈ Oddfin → ((A +c 1c) ∈ Evenfin ↔ (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅)))
39	38	adantr 451	. 2 ⊢ ((A ∈ Oddfin ∧ (A +c 1c) ≠ ∅) → ((A +c 1c) ∈ Evenfin ↔ (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = (m +c m) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅)))
40	28, 39	mpbird 223	1 ⊢ ((A ∈ Oddfin ∧ (A +c 1c) ≠ ∅) → (A +c 1c) ∈ Evenfin )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  Vcvv 2860  ∅c0 3551  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374   +_c cplc 4376   Even_fin cevenfin 4437   Odd_fin coddfin 4438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446

This theorem is used by:  evenoddnnnul  4515  vinf  4556