Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | n0 3559 |
. . 3
![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c
![E.](exists.gif)
![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
2 | | peano2 4403 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif)
1c
Nn ![)](rp.gif) |
3 | | tfincl 4492 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c
Nn Tfin ![(](lp.gif) 1c Nn ![)](rp.gif) |
4 | 2, 3 | syl 15 |
. . . . . . 7
![(](lp.gif) Nn Tfin ![(](lp.gif) 1c
Nn ![)](rp.gif) |
5 | 4 | adantr 451 |
. . . . . 6
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) Tfin ![(](lp.gif)
1c
Nn ![)](rp.gif) |
6 | | tfincl 4492 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) Nn Tfin Nn ![)](rp.gif) |
7 | | peano2 4403 |
. . . . . . . 8
Tfin
Nn Tfin 1c
Nn ![)](rp.gif) |
8 | 6, 7 | syl 15 |
. . . . . . 7
![(](lp.gif) Nn Tfin 1c
Nn ![)](rp.gif) |
9 | 8 | adantr 451 |
. . . . . 6
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) Tfin 1c Nn ![)](rp.gif) |
10 | | tfinpw1 4494 |
. . . . . . 7
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c
Nn ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) 1 Tfin ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
11 | 2, 10 | sylan 457 |
. . . . . 6
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) 1 Tfin ![(](lp.gif) 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
12 | | elsuc 4413 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1c ![E.](exists.gif)
![E.](exists.gif)
∼ ![b](_b.gif) ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
13 | | tfinpw1 4494 |
. . . . . . . . . . . 12
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![A](_ca.gif) 1
Tfin ![A](_ca.gif) ![)](rp.gif) |
14 | 13 | adantrr 697 |
. . . . . . . . . . 11
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ∼ ![b](_b.gif) ![)](rp.gif) 1 Tfin ![A](_ca.gif) ![)](rp.gif) |
15 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![_V](rmcv.gif) |
16 | 15 | elcompl 3225 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![(](lp.gif) ∼ ![b](_b.gif) ![)](rp.gif) |
17 | | snelpw1 4146 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) 1 ![b](_b.gif) ![)](rp.gif) |
18 | 16, 17 | xchbinxr 302 |
. . . . . . . . . . . . 13
![(](lp.gif) ∼ ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) 1 ![b](_b.gif) ![)](rp.gif) |
19 | 18 | biimpi 186 |
. . . . . . . . . . . 12
![(](lp.gif) ∼ ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) 1 ![b](_b.gif) ![)](rp.gif) |
20 | 19 | ad2antll 709 |
. . . . . . . . . . 11
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ∼ ![b](_b.gif) ![)](rp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) 1 ![b](_b.gif) ![)](rp.gif) |
21 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . 12
![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif)
![_V](rmcv.gif) |
22 | 21 | elsuci 4414 |
. . . . . . . . . . 11
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1
Tfin ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif)
1 ![b](_b.gif) ![(](lp.gif) 1
![{](lbrace.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![}](rbrace.gif) Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
23 | 14, 20, 22 | syl2anc 642 |
. . . . . . . . . 10
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ∼ ![b](_b.gif) ![)](rp.gif) ![(](lp.gif) 1 ![{](lbrace.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![}](rbrace.gif) Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
24 | | pw1eq 4143 |
. . . . . . . . . . . 12
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) 1 1 ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
25 | | pw1un 4163 |
. . . . . . . . . . . . 13
1 ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif)
![(](lp.gif) 1 1 ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) |
26 | 15 | pw1sn 4165 |
. . . . . . . . . . . . . 14
1 ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif)
![{](lbrace.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![}](rbrace.gif) |
27 | 26 | uneq2i 3415 |
. . . . . . . . . . . . 13
![(](lp.gif) 1 1 ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![(](lp.gif) 1
![{](lbrace.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) |
28 | 25, 27 | eqtri 2373 |
. . . . . . . . . . . 12
1 ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif)
![(](lp.gif) 1 ![{](lbrace.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) |
29 | 24, 28 | syl6eq 2401 |
. . . . . . . . . . 11
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) 1 ![(](lp.gif) 1 ![{](lbrace.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![}](rbrace.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
30 | 29 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . 10
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![(](lp.gif) 1
Tfin 1c ![(](lp.gif) 1 ![{](lbrace.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) ![}](rbrace.gif)
Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
31 | 23, 30 | syl5ibrcom 213 |
. . . . . . . . 9
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ∼ ![b](_b.gif) ![)](rp.gif) ![(](lp.gif)
![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) 1
Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
32 | 31 | rexlimdvva 2745 |
. . . . . . . 8
![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ![E.](exists.gif) ![E.](exists.gif) ∼ ![b](_b.gif)
![(](lp.gif) ![{](lbrace.gif) ![x](_x.gif) ![}](rbrace.gif) 1
Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
33 | 12, 32 | syl5bi 208 |
. . . . . . 7
![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c
1 Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
34 | 33 | imp 418 |
. . . . . 6
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) 1 Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
35 | | nnceleq 4430 |
. . . . . 6
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Tfin ![(](lp.gif) 1c Nn Tfin 1c Nn ![(](lp.gif) 1
Tfin ![(](lp.gif)
1c
1 Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) Tfin ![(](lp.gif)
1c
Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
36 | 5, 9, 11, 34, 35 | syl22anc 1183 |
. . . . 5
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif)
1c![)](rp.gif) Tfin ![(](lp.gif)
1c
Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
37 | 36 | ex 423 |
. . . 4
![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ![(](lp.gif)
1c
Tfin ![(](lp.gif)
1c
Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
38 | 37 | exlimdv 1636 |
. . 3
![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ![E.](exists.gif) ![(](lp.gif) 1c Tfin ![(](lp.gif) 1c
Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
39 | 1, 38 | syl5bi 208 |
. 2
![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) ![(](lp.gif) 1c Tfin ![(](lp.gif)
1c
Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |
40 | 39 | imp 418 |
1
![(](lp.gif) ![(](lp.gif) Nn ![(](lp.gif) 1c ![(/)](varnothing.gif) Tfin ![(](lp.gif)
1c
Tfin 1c![)](rp.gif) ![)](rp.gif) |