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Theorem tfinnn 4534
 Description: T-raising of a set of naturals. Theorem X.1.46 of [Rosser] p. 532. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tfinnn Nn Nn Tfin Tfin
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem tfinnn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfinnnlem1 4533 . . . . 5 Nn Tfin Tfin
2 tfineq 4488 . . . . . . . . . 10 0c Tfin Tfin 0c
3 tfin0c 4497 . . . . . . . . . 10 Tfin 0c 0c
42, 3syl6eq 2401 . . . . . . . . 9 0c Tfin 0c
54eleq2d 2420 . . . . . . . 8 0c Tfin Tfin Tfin 0c
65imbi2d 307 . . . . . . 7 0c Nn Tfin Tfin Nn Tfin 0c
76raleqbi1dv 2815 . . . . . 6 0c Nn Tfin Tfin 0c Nn Tfin 0c
8 df-ral 2619 . . . . . . 7 0c Nn Tfin 0c 0c Nn Tfin 0c
9 el0c 4421 . . . . . . . . 9 0c
10 el0c 4421 . . . . . . . . . . 11 Tfin 0c Tfin
11 ab0 3569 . . . . . . . . . . 11 Tfin Tfin
1210, 11bitri 240 . . . . . . . . . 10 Tfin 0c Tfin
1312imbi2i 303 . . . . . . . . 9 Nn Tfin 0c Nn Tfin
149, 13imbi12i 316 . . . . . . . 8 0c Nn Tfin 0c Nn Tfin
1514albii 1566 . . . . . . 7 0c Nn Tfin 0c Nn Tfin
16 0ex 4110 . . . . . . . 8
17 sseq1 3292 . . . . . . . . 9 Nn Nn
18 rexeq 2808 . . . . . . . . . . 11 Tfin Tfin
1918notbid 285 . . . . . . . . . 10 Tfin Tfin
2019albidv 1625 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin
2117, 20imbi12d 311 . . . . . . . 8 Nn Tfin Nn Tfin
2216, 21ceqsalv 2885 . . . . . . 7 Nn Tfin Nn Tfin
238, 15, 223bitri 262 . . . . . 6 0c Nn Tfin 0c Nn Tfin
247, 23syl6bb 252 . . . . 5 0c Nn Tfin Tfin Nn Tfin
25 tfineq 4488 . . . . . . . 8 Tfin Tfin
2625eleq2d 2420 . . . . . . 7 Tfin Tfin Tfin Tfin
2726imbi2d 307 . . . . . 6 Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin
2827raleqbi1dv 2815 . . . . 5 Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin
29 tfineq 4488 . . . . . . . . 9 1c Tfin Tfin 1c
3029eleq2d 2420 . . . . . . . 8 1c Tfin Tfin Tfin Tfin 1c
3130imbi2d 307 . . . . . . 7 1c Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
3231raleqbi1dv 2815 . . . . . 6 1c Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
33 sseq1 3292 . . . . . . . 8 Nn Nn
34 rexeq 2808 . . . . . . . . . 10 Tfin Tfin
3534abbidv 2467 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin
3635eleq1d 2419 . . . . . . . 8 Tfin Tfin 1c Tfin Tfin 1c
3733, 36imbi12d 311 . . . . . . 7 Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
3837cbvralv 2835 . . . . . 6 1c Nn Tfin Tfin 1c 1c Nn Tfin Tfin 1c
3932, 38syl6bb 252 . . . . 5 1c Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
40 tfineq 4488 . . . . . . . 8 Tfin Tfin
4140eleq2d 2420 . . . . . . 7 Tfin Tfin Tfin Tfin
4241imbi2d 307 . . . . . 6 Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin
4342raleqbi1dv 2815 . . . . 5 Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin
44 rex0 3563 . . . . . . 7 Tfin
4544ax-gen 1546 . . . . . 6 Tfin
4645a1i 10 . . . . 5 Nn Tfin
47 elsuc 4413 . . . . . . . . . . 11 1c
48 sseq1 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn Nn
49 rexeq 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Tfin Tfin
5049abbidv 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Tfin Tfin
5150eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tfin Tfin Tfin Tfin
5248, 51imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin
5352rspcv 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin
5453ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin
55 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn Nn Nn Nn
56 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin
57 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Nn Nn Nn
58 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5958elcompl 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6057, 59sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Nn Nn Nn
61 elequ1 1713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6261notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6360, 62syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn Nn Nn
6463con2d 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn Nn Nn
6564imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Nn Nn Nn
66 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn Nn Nn Tfin Tfin Nn Nn Nn
67 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn Nn Nn Nn
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn Nn Nn Tfin Tfin Nn
6966, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn Nn Nn Tfin Tfin Nn
70 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nn Nn Nn Tfin Tfin
7169, 70sseldd 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn Nn Nn Tfin Tfin Nn
72 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin
73 tfin11 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Nn Nn Tfin Tfin
7468, 71, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Nn Nn Nn Tfin Tfin
7565, 74mtand 640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Nn Nn Nn Tfin Tfin
7675nrexdv 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nn Nn Nn Tfin Tfin
77763adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Nn Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin
78 tfinex 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tfin
79 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Tfin Tfin Tfin Tfin
8079rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tfin Tfin Tfin Tfin
8178, 80elab 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tfin Tfin Tfin Tfin
8277, 81sylnibr 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin
8378elsuci 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin 1c
8456, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin 1c
85843expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin 1c
8655, 85embantd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn Nn Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin 1c
8786ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn Nn Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin 1c
8887com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn Nn Tfin Tfin Nn Nn Tfin Tfin Tfin 1c
89 sseq1 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn Nn
9058snss 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nn Nn
9190anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn Nn Nn Nn
92 unss 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nn Nn Nn
9391, 92bitr2i 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn Nn Nn
9489, 93syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn Nn Nn
95 rexeq 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tfin Tfin
96 rexun 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tfin Tfin Tfin
9795, 96syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Tfin Tfin Tfin
9897abbidv 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Tfin Tfin Tfin
99 df-sn 3741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tfin Tfin
100 tfineq 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Tfin Tfin
101100eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Tfin Tfin
10258, 101rexsn 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Tfin Tfin
103102abbii 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tfin Tfin
10499, 103eqtr4i 2376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tfin Tfin
105104uneq2i 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Tfin Tfin Tfin Tfin
106 unab 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Tfin Tfin Tfin Tfin
107105, 106eqtr2i 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Tfin Tfin Tfin Tfin
10898, 107syl6eq 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Tfin Tfin Tfin
109108eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tfin Tfin 1c Tfin Tfin Tfin 1c
11094, 109imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn Tfin Tfin 1c Nn Nn Tfin Tfin Tfin 1c
111110biimprcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn Nn Tfin Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
11288, 111syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
11354, 112syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
114113imp 418 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
115114an32s 779 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
116115rexlimdvva 2745 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
11747, 116syl5bi 208 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
118117imp32 422 . . . . . . . . 9 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
119 simpll 730 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn Nn
120 ne0i 3556 . . . . . . . . . . 11 1c 1c
121120ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn 1c
122 tfinsuc 4498 . . . . . . . . . 10 Nn 1c Tfin 1c Tfin 1c
123119, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . . . 9 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin 1c Tfin 1c
124118, 123eleqtrrd 2430 . . . . . . . 8 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
125124expr 598 . . . . . . 7 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
126125ralrimiva 2697 . . . . . 6 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
127126ex 423 . . . . 5 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
1281, 24, 28, 39, 43, 46, 127finds 4411 . . . 4 Nn Nn Tfin Tfin
129 sseq1 3292 . . . . . 6 Nn Nn
130 rexeq 2808 . . . . . . . 8 Tfin Tfin
131130abbidv 2467 . . . . . . 7 Tfin Tfin
132131eleq1d 2419 . . . . . 6 Tfin Tfin Tfin Tfin
133129, 132imbi12d 311 . . . . 5 Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin
134133rspccv 2952 . . . 4 Nn Tfin Tfin Nn Tfin Tfin
135128, 134syl 15 . . 3 Nn Nn Tfin Tfin
136135com23 72 . 2 Nn Nn Tfin Tfin
1371363imp 1145 1 Nn Nn Tfin Tfin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 357   wa 358   w3a 934  wal 1540   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339   wne 2516  wral 2614  wrex 2615   ∼ ccompl 3205   cun 3207   wss 3257  c0 3550  csn 3737  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375   Tfin ctfin 4435 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443 This theorem is referenced by:  vfinncsp  4554
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