Theorem elcompl 3225

Description: Membership in complement. (Contributed by SF, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elbool.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elcompl	|- (A e. ∼ B <-> -. A e. B)

Proof of Theorem elcompl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbool.1	. 2 |- A e. _V
2		elcomplg 3218	. 2 |- (A e. _V -> (A e. ∼ B <-> -. A e. B))
3	1, 2	ax-mp 8	1 |- (A e. ∼ B <-> -. A e. B)

Syntax hints:  -. wn 3   <-> wb 176   e. wcel 1710  _Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212

This theorem is referenced by:  dblcompl  3227  complab  3524  necompl  3544  sscon34  3661  disj5  3890  nincompl  4072  ssofss  4076  dfimak2  4298  dfint3  4318  dfpw2  4327  dfaddc2  4381  elsuc  4413  elsuci  4414  nnsucelrlem1  4424  nnsucelrlem3  4426  nnsucelr  4428  nndisjeq  4429  prepeano4  4451  preaddccan2lem1  4454  ltfinex  4464  ssfin  4470  eqpwrelk  4478  ncfinraiselem2  4480  ncfinraise  4481  ncfinlowerlem1  4482  ncfinlower  4483  eqtfinrelk  4486  tfinsuc  4498  evenfinex  4503  oddfinex  4504  evenodddisjlem1  4515  nnadjoinlem1  4519  nnadjoin  4520  nnpweqlem1  4522  srelk  4524  sfindbl  4530  sfintfinlem1  4531  tfinnnlem1  4533  tfinnn  4534  spfinex  4537  vfin1cltv  4547  nulnnn  4556  dfphi2  4569  dfop2lem1  4573  setconslem2  4732  setconslem3  4733  setconslem7  4737  dfswap2  4741  intirr  5029  brimage  5793  releqel  5807  disjex  5823  epprc  5827  funsex  5828  fnfullfunlem1  5856  fvfullfun  5864  transex  5910  refex  5911  antisymex  5912  connexex  5913  foundex  5914  extex  5915  symex  5916  qsexg  5982  enprmaplem4  6079  nenpw1pwlem1  6084  peano4nc  6150  ovcelem1  6171  ce0nn  6180  el2c  6191  tcfnex  6244  nclennlem1  6248  nnc3n3p1  6278  nchoicelem10  6298  nchoicelem11  6299  nchoicelem16  6304  nchoicelem18  6306  fnfreclem1  6317