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Theorem tfinltfinlem1 4500
 Description: Lemma for tfinltfin 4501. Prove the forward direction of the theorem. (Contributed by SF, 2-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tfinltfinlem1 Nn Nn fin Tfin Tfin fin

Proof of Theorem tfinltfinlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfinnnul 4490 . . . . . 6 Nn Tfin
21ex 423 . . . . 5 Nn Tfin
32adantrd 454 . . . 4 Nn Nn 1c Tfin
43adantr 451 . . 3 Nn Nn Nn 1c Tfin
5 addcnul1 4452 . . . . . . . . . . . . . 14 1c
6 addccom 4406 . . . . . . . . . . . . . 14 1c 1c
75, 6eqtr3i 2375 . . . . . . . . . . . . 13 1c
8 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tfin Tfin
9 addcnul1 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tfin
108, 9syl6eq 2401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tfin
1110addceq1d 4389 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tfin 1c 1c
1211eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . 14 Tfin 1c 1c
1312rspcev 2955 . . . . . . . . . . . . 13 Nn 1c Nn Tfin 1c
147, 13mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Tfin 1c
15 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn
16 tfineq 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tfin Tfin
17 tfinnul 4491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tfin
1816, 17syl6eq 2401 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tfin
1918eqeq1d 2361 . . . . . . . . . . . . . 14 Tfin Tfin 1c Tfin 1c
2019rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Tfin Tfin 1c Nn Tfin 1c
2115, 20imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Tfin Tfin 1c Nn Nn Tfin 1c
2214, 21mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Tfin Tfin 1c
2322adantld 453 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn Tfin Tfin 1c
2423adantrd 454 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn Nn Tfin Tfin 1c
2524a1dd 42 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
26 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Nn 1c Nn
27 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn Nn Nn 1c 1c
28 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn Nn Nn 1c
2927, 28eqnetrrd 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn Nn Nn 1c 1c
30 addcnnul 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1c 1c
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn Nn Nn 1c 1c
3231simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn Nn 1c
33 addcnnul 4453 . . . . . . . . . . . . . . 15
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn 1c
3534simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Nn 1c
36 tfinprop 4489 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Tfin Nn 1 Tfin
3736simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Tfin Nn
3826, 35, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1c Tfin Nn
39 tfineq 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c Tfin Tfin 1c
4039adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 1c Tfin Tfin 1c
41403ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn 1c Tfin Tfin 1c
42 simp1l 979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn Nn Nn 1c Nn
43 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn Nn Nn
4442, 26, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn Nn 1c Nn
45 tfinsuc 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn 1c Tfin 1c Tfin 1c
4644, 29, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn 1c Tfin 1c Tfin 1c
4741, 46eqtrd 2385 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Nn 1c Tfin Tfin 1c
48 tfindi 4496 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn Nn Tfin Tfin Tfin
4942, 26, 32, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn Nn 1c Tfin Tfin Tfin
5049addceq1d 4389 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Nn 1c Tfin 1c Tfin Tfin 1c
5147, 50eqtrd 2385 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn 1c Tfin Tfin Tfin 1c
52 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tfin Tfin Tfin Tfin
5352addceq1d 4389 . . . . . . . . . . . . . 14 Tfin Tfin 1c Tfin Tfin 1c
5453eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . 13 Tfin Tfin Tfin 1c Tfin Tfin Tfin 1c
5554rspcev 2955 . . . . . . . . . . . 12 Tfin Nn Tfin Tfin Tfin 1c Nn Tfin Tfin 1c
5638, 51, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
57563expa 1151 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
5857exp32 588 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
5958com12 27 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
6025, 59pm2.61ine 2592 . . . . . . 7 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
6160expr 598 . . . . . 6 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
6261rexlimdv 2737 . . . . 5 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
6362ex 423 . . . 4 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
6463imp3a 420 . . 3 Nn Nn Nn 1c Nn Tfin Tfin 1c
654, 64jcad 519 . 2 Nn Nn Nn 1c Tfin Nn Tfin Tfin 1c
66 opkltfing 4449 . 2 Nn Nn fin Nn 1c
67 tfinex 4485 . . . 4 Tfin
68 tfinex 4485 . . . 4 Tfin
69 opkltfing 4449 . . . 4 Tfin Tfin Tfin Tfin fin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
7067, 68, 69mp2an 653 . . 3 Tfin Tfin fin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
7170a1i 10 . 2 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
7265, 66, 713imtr4d 259 1 Nn Nn fin Tfin Tfin fin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  cvv 2859  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   Nn cnnc 4373   cplc 4375   fin cltfin 4433   Tfin ctfin 4435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-ltfin 4441  df-tfin 4443 This theorem is referenced by:  tfinltfin  4501
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